浅谈高中数学概率与统计的教学

在数学的历史发展过程中出现了3 次重大的飞跃：第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学。现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径。因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一。概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课，但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开.这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要，那我们在教学中应该如何进行实施“概率与统计”的教学方法和策略呢？

（一）突出统计思维的特点和作用。

统计的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质。因此，统计结果具有随机性，统计推断是有可能犯错误的，这一点与确定性思维不同。但同时，统计思维又是一种重要的思维方式，它和确定性思维一样成为人们不可或缺的思想武器，由不确定的数据进行推理也是同样有力而普遍的方法。因为在自然界中和人类事物中，随机现象是大量存在的，概率统计正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们做出合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率。

统计教学的核心目标正是使学生体会统计思维的特点和作用，教学中应注重通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，以使学生认识统计的作用，体会统计思维和确定性差异。例如：在运用样本估计总体的教学中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但于总体有一定的偏差。但另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据。

（二）统计教学应通过案例来进行，并要注重数据的收集。

高中阶段统计教学应通过案例的进行，在对实际问题的分析中，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些常用的数据处理的方法，运用所学知识、方法去解决简单的实际问题，体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用以及应用的广泛性。同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质。

例如：对于“最小二乘法”的学习，如果直接介绍一般的最小二乘的方法，学生往往体会不到这种方法的实质，也失去了一个分析问题、处理数据的机会。教学中，可以通过一个学生感兴趣的实例，比如学生身高和体重的关系，让学生收集到的数据做出散点图，利用散点图直观认识到变量之间存在着线形相关关系，然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较合适”的直线描述这两个变量之间线形相关关系，在此基础上再引入最小二乘法，并给出线形回归方程。教师平时要细心收集生活中的素材、广泛涉猎各学科知识，更多的发动学生自己发现问题。

（三）重视对概率模型的理解和应用以及和其他数学知识的结合。

计算随机事件发生的概率是概率学习的重要内容。对于这方面的学习，首要的是对各种概率模型的理解和应用，而不是把精力主要放在套用公式上。教学中，应注意使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，注重理解各种概率模型的特点，并且在实际问题中培养学生识别模型的能力。

概率论与我们的日常生活是紧密相连的，它的应用性是非常广泛的。教师在教学的过程中，除了与实际生活中的例子相结合外，也要注重与其他高中数学知识的结合，这样可以让学生体会到数学知识是相通的，还能激发学生学习其他数学知识的兴趣，例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P（A） > 0时，P（B | A）未必等于P（B）.但是一旦P（B | A） =P（B），也就说明事件A的发生不影响事件B的发生.同样当P（B） > 0时，若P（A| B） = P（A），就称事件B的发生不影响事件A 的发生.因此若P（A） > 0 ， P（B） > 0 ，且P（B | A） = P（B）与P（A| B） = P（A）两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响.我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：

定义1：设A，B 是两个随机事件，若P（A） > 0 ，P（B） > 0，我们有P（B | A） = P（B）且P（A| B） = P（A），则称事件A 与事件B 相互独立.接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1 中的条件P（A） > 0 与P（B） > 0 是否为本质要求？事实上，如果P（A） > 0，P（B） > 0，我们可以得到：

P（B | A） = P（B） ？ P（AB） = P（A）P（B） ？ P（A| B） = P（A）.但是当P（A） = 0，P（B） = 0时会是什么情况呢？由事件间的关系及概率的性质，我们知道AB ？ A， AB ？ B，因此P（AB） = 0 = P（A）P（B），等式仍然成立。所以我们可以舍去定义1中的条件P（A） > 0，P（B） > 0，即如下定义事件的独立性：

定义2 ： 设A ， B 为两随机事件， 如果等式P（AB） = P（A）P（B）成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B 相互独立.很显然，定义2 比定义1 更加简洁.在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美.

通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题.

（作者单位：福建省龙海程溪中学）