从蒙提霍尔问题到全概率公式

【摘要】全概率公式是概率统计课程教学中的一个教学难点.本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例——蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，引导学生积极思考，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.

【关键词】蒙提霍尔问题；全概率公式；教学设计

【基金支持】（1）2015.6.1—2016.5.31，西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”，（項目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02—2016.07四川省教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.1—2017.08.10，高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）

全概率公式是概率论中的一个重要的公式，也是教学中的一个重点内容.在许多的概率统计的教材中，通常都是直接给出样本空间的划分（分割）的定义，然后以定理的形式给出全概率公式[1，2].但是笔者在给工科学生讲授这部分内容时发现，如果按照教材上的方式来讲解，学生会感到非常的枯燥，而且接受起来也存在一定的困难.尤其是面对一些贴近生活的实际问题，学生不能很好地应用该公式.从而使得部分学生逐渐丧失信心，产生畏难情绪，失去学习的兴趣.因此有必要对全概率公式的教学进行比较深入细致的设计.

在教学中，对于一个新知识的讲解，“引入”是十分关键的.著名的数学家拉普拉斯说过：“生活中最主要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题.”由此可见，在现实生活中随处可见概率问题.因此，在概率统计课程的教学中，可以通过分析现实生活中的一些有趣的案例导入新课.一方面，可以激发学生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于学生理解抽象复杂的公式.鉴于此，本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例——蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.整个教学设计体现“以教师为主导、以学生为主体”的教学理念，引导学生主动学习、思考，并教会学生怎样应用所学知识来解决实际问题，体现“授人以渔”.

一、回顾前面学习的知识

教师在讲授新内容之前可以花几分钟的时间复习与新内容密切相关的一个或者几个知识点，自然地过渡到新课.这是一种“以旧入境，推旧引新”的“复习式”切入法[3].这样便于将新旧知识逻辑性地联系起来，利于教师循序渐进地引导学生学习新知识.同时有利于巩固已有知识，并引发学生积极思考，利用所学新知识解决问题.

教师首先和学生一起回顾在前一节中学习的知识：条件概率公式和乘法公式[1].

条件概率：设A，B为随机试验E的两个事件，且P（A）>0，则称P（B|A）=P（AB）P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.而在实际应用中，我们很少直接利用这个公式来计算条件概率，而是事先根据实际情况算出条件概率，再利用它来计算积事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.这两个公式在概率统计中非常有用，而关于这两个公式的应用有很多.先来看一个例子.

二、由有趣的生活实例引入全概率公式

引例（蒙提霍尔问题）在一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆宝马汽车作为奖品，门后的奖品的种类主持人是知道的，当然参赛选手不知道.参赛选手答对题目后，可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品.现在假设该参赛选手选中了1号门，主持人将未选的两扇门中打开一扇（例如3号门），后面是一只山羊.如果你是参赛选手，现在主持人再给你一次改变选择的机会，你是否改变选择，将选中的1号门换为2号门？

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem，也称为三门问题）是一个著名的概率趣题，实质上是一个源自博弈论的数学游戏问题[4].该问题出自美国的一个电视游戏节目Lets Make a Deal，由于该节目是由蒙提霍尔主持的，因此通常称这个问题为蒙提霍尔问题.

给出引例之后，教师通过设问的方式进一步引导学生思考.提问：假设你是参赛选手，你会怎样选择？改选还是坚持原来的选择呢？留一些时间让学生参与讨论，充分调动学生的学习积极性.对于该问题，学生们众说纷纭，各执一词，有从心理学分析原因的，有从逻辑分析原因的.此时教师要引导学生从数学的角度来分析问题，指出“改选”或“不改选”最关键的问题在于何种选择会对参赛者更有利，也就是获得宝马汽车的可能性更大一些.用数学语言来描述就是：哪种选择下获得宝马汽车的概率更大一些.因此，我们需要计算“改”与“不改”两种策略下，选中宝马汽车的概率.

为了后面计算的方便，需要先将事件描述清楚，并用字母表示出来.当参赛选手的选择从1号门变到2号门时，他能否中奖，完全取决于1号门后面到底是宝马还是山羊.于是设B1=“1号门后面为宝马汽车”，B2=“1号门后面为山羊”.易知，B1和B2是互斥的事件，且有P（B1）=13，P（B2）=23.参赛者中宝马汽车这个事件被1号门后面是山羊和1号门后面是宝马分割成了两部分.另设A=“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”.则显然有P（A|B1）=0，P（A|B2）=1.“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”这个事件的概率的计算如下：

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=13×0+23×1=23.

于是我们得到了，改变选择获得宝马车的概率是P（A）=23.

接下来让学生自己考虑，不改变选择时获得宝马汽车的概率是多少呢？设事件C=“参赛者不改变选择，并最终中宝马汽车”.与前面类似的方法可以得到，

P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）=13×1+23×0=13.

对该问题进行分析，启发学生从结果中总结规律.

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=∑2i=1P（Bi）P（A|Bi）.

强调：表达式P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）虽然形式上比较复杂，但实际计算起来却很简单，并且能够体现事件发生的先后次序.

分析时要指出此类问题的本质特点：多个事件对所求事件的概率都有概率“贡献”.进而，通过提问引导学生将其推广到一般情况的思考，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式.所设问题如下.

（ⅰ）当对A事件发生的概率有影响的事件为n个（B1，B2，…，Bn）时，是否有类似的表达式？

（ⅱ）上式成立需要满足什么条件？

利用对问题（ⅰ）和（ⅱ）的回答，引出划分的概念和全概率公式.

三、全概率公式及证明

1.回顾划分（完备事件组）的概念，指出这是全概率公式成立的条件之一.

关于划分，由两个事件相互对立，推广到n个事件时，要注意通过两者之间的共性，实现教学内容之间的衔接：

（ⅰ）BiBj=（i，j=1，2，…，n，i≠j）；

（ⅱ）∪ni=1Bi=Ω.

2.全概率公式的定理及其证明.

定理（全概率公式）设事件B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则对任意事件AΩ，有

P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

给出定理之后，与引例的分析做对比.事实上，引例中的表达式即为全概率公式在n=2时的特例，引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明.

证明由BiBj=（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得

A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn，

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

证明完毕后再来说明全概率公式的数学思想.全概率公式是对加法原理和乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件的概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和.

四、全概率公式的应用

通过具体例子（产品抽样检查问题）来说明全概率公式的应用方法，这里体现的是从一般到特殊的思想.

例（产品抽样检查）设仓库中共有10箱产品，其中甲、乙、丙三厂各有5，3，2箱，且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%，15%，20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取到次品的概率.

1.问题分析：分析这类问题的特点，说明为什么这类问题可以用全概率公式求解.取到的产品可能由甲、乙、丙三个厂中任何一个厂生产，因此，该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响，每个工厂都有概率“贡献”，因此应考虑运用n=3的全概率公式.

2.求解步骤：对事件进行描述，计算公式中各项的概率.

解设A=“任取一件产品，该产品为次品”，B1，B2，B3分别表示“所取得的产品由甲、乙、丙三厂生产”，

P（A）=∑3i=1P（Bi）P（A|Bi）

=0.5×0.1+0.3×0.15+0.2×0.20

=0.135.

注意：在求解过程中，要引导学生思考全概率公式中各项概率（特别是条件概率）该怎么计算，加深对全概率公式应用的认识.

3.问题总结：应用全概率公式的关键在于，对所求事件A有概率贡献的全部原因都要分析清楚，将所有的可能性都要考虑进来.另外强调，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的.

五、由设问引出贝叶斯公式

在解决了上面问题之后，通过设问的方式引导学生做更加深入的思考.

在产品抽样检查例题中，若取得的产品為次品，问该产品是最可能由哪个厂生产？

引导学生主动思考并分析出这类问题的特点.全概率公式可以说是解决“知因求果”的问题，而上面提出的这个问题则是相反的，这类问题是已知结果，推断原因，遇到这种“执果探因”的情况又该如何解决呢？

进一步引导学生解决问题.在已知该产品是次品的条件下，分别考虑该次品是来自各个厂的概率，即分别求：该次品来自甲厂的概率P（B1|A），该次品来自乙厂的概率P（B2|A），该次品来自丙厂的概率P（B3|A），这是三个条件概率，利用前面学习的条件概率的知识可以分别求得：

通过比较上面的概率可知，次品来自甲厂的概率最大，因此，可以认为该次品最有可能是由甲厂生产的.上面三个概率的计算主要是利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式得到的，将上面的三个公式推广到一般情形，就可以得到贝叶斯公式.由设问引出贝叶斯公式，又很自然地导入了下一个知识点，做到了教学内容之间的相互衔接.

【参考文献】

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]李贤平.概率论基础[M].第2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3]马友文.拿什么打开思路名师最吸引学生的课堂切入点[M].重庆：西南师范大学出版社，2008.

[4]程园园，程多娇.三门问题及其扩展应用[J].中国统计，2016（5）：44-45.