微分方程在航天科技中的应用

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【摘要】嫦娥三号卫星软着陆准备过程中轨道近月点与远月点的位置确定非常重要.本文针对着陆准备轨道近月点与远月点的位置确定，以月心为极点，方向为远月点指向近月点，以由远月点与近月点两点所确定的直线为极轴，建立极坐标系.接着，根据理论力学二体问题中的动量矩积分，以及嫦娥三号在太空中遵循机械能守恒定理和角动量守恒，求出嫦娥三号在近月点的速度和远月点的速度.

【关键词】经典力学理论；二体问题；微分方程模型

1 问题提出

嫦娥三号携带中国第一艘月球车于2013年12月14日成功实现中国首次月球软着陆，要保证其准确在月球预订区域实现软着陆，其轨道与控制策略的设计为关键问题.现思考如何准确设计100 km×15 km的环月着陆准备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道，确定椭圆形着陆准备轨道的近月点与远月点的位置，并分别计算出嫦娥三号在近月点与远月点时的速度大小及其方向？

2 问题探讨

结合二体问题中的动量矩积分和轨道积分以及机械能守恒定理和角动量守恒定理综合分析，确定嫦娥三号近月点与远月点的位置和计算出其对应的位置大小和方向.对多个因素进行分析，综合考虑了影响事物发展的多个因素，从而提高结果的准确性.

3 问题分析与结果

通过问题研究探讨，本文以微分方程为基础，对嫦娥三号着陆轨道的近月点与远月点的位置做以下分析：

3.1 建立微分方程模型

3.1.1 模型的假设

基于嫦娥三号卫星符合“开普勒定律”和“牛顿第二定律”，由于其是做平面运动，可在平面内用平面极坐标（r，θ）来表示其运动方程.现以月心为极坐标的圆心，以近月点与远月点所在的直线为横坐标，建立平面极坐标系，如图3.1所示：

图3.1 平面极坐标系

根据图3.1的极坐标系的建立，假设A点就是嫦娥三号的远月点的位置，B点就是嫦娥三号的近月点的位置.

下面，我们建立微分方程模型对上述假设进行验证.

3.1.2 模型的引入

根据理论力学可知，若将月球看成一个密度均匀分布的正球，则它对卫星的吸引力可等效于一个质点，这样月球与卫星就构成一个二体系统.可在月心惯性坐标系考虑卫星相对月心的运动.卫星位置质量为r（x，y，z），卫星速度矢量为r·x·，y·，z·，卫星加速度矢量，万有引力常量为G，卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力定律，卫星受月球引力F→为：

3.2 嫦娥三号近月点与远月点的速度求解

3.2.1 引入

嫦娥三号卫星发射18分钟后就已经离开地球，并进入预定的地月转移轨道.在经历了大约5天的地月转移轨道运行后，经过近月制动进入环月轨道；在100公里环月圆轨道运行约4天后择机变轨，来到远月点变轨进入100公里×15公里的椭圆形着陆准备轨道；再运行大约4天的时间，嫦娥三号到达着陆预定轨道的近日点进行月面的降落.最终于2013年12月14日21时11分18.695秒，嫦娥三号卫星成功实现软着陆.

3.2.2 万有引力定理与开普勒定律的应用

当嫦娥三号卫星到达远月点与近月点时，不受其他外力的作用，只有重力和系统内弹力做功.即太空这一个系统中，嫦娥三号卫星的动能和势能可以相互转化.即嫦娥三号卫星在远月点与近月点时，机械能守恒.

4 结 语

本文以微分方程为基础，将如何准确设计100 km×15 km的环月着陆准备轨道和从近月点到着陆点的着陆轨道，确定椭圆形着陆准备轨道的近月点与远月点的位置，并针对嫦娥三号在近月点与远月点时的速度大小及其方向的问题做了理性的分析并给出研究结果.通过本文的研究，可知微分方程在航空科技中发挥了相当重要的作用.这一应用的肯定将对航天科技的发展作出更为显著地贡献.

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