关于开设高等数学实验课的实践与认识

摘要:高等数学实验是高等数学教学改革的产物,现已成为高校面向21世纪改革数学教育的一门课程。本文结合笔者近年来在高等数学实验课中的教学实践阐述了对高等数学实验课的认识,并着重从教学内容、教学模式以及需要注意的几个问题三个方面论述了如何开设高等数学实验课。

关键词:高等数学;数学实验;教学内容;教学模式

中图分类号:G623.5文献标志码:A 文章编号:1002—2589(2009)20—0256—02

高等数学是高校面向大部分本科专业开设的公共基础课,是众多技术基础和专业课程的奠基石,其教学情况直接影响到学生对其它学科学习的思维定向和能力提高,在各学科中处于基础性、先导性、全局性的地位。但目前大部分高校的高等数学教学,内容多而陈旧,负担重而低效,与实际和学科专业严重脱离,教师为考试而教,学生为考试而学,缺乏创新意识和能力的培养,使学生普遍感到枯燥乏味,困惑迷茫,进而学习的积极性不高,甚至形成了数学无用论。因此,高等数学教学改革势在必行。

高等数学实验是高等数学教学改革的产物,现已成为高校面向21世纪改革数学教育的一门课程。关于它的内容和方法,在国内外已经进行了大量的研究和实践。有许多不同层次的高校,对开设高等数学实验课已取得显著成果。我校作为新升本院校,为了把培养学生科学素质、创新精神和实践能力的本科教育改革目标落实到实处,也开始了开设高等数学实验课的有益尝试。下面笔者结合近年来的教学实践谈谈一些关于开设高等数学实验课的认识和思考。

一、对高等数学实验的认识

数学也可以做实验吗?长期以来人们都认为数学是从来不做实验的,数学无非就是凭脑袋、纸和笔进行推理、证明和计算等等,这其实是人们对数学的一个很大的误解。事实上,数学发现的过程并非一开始就是从定义出发,然后提出定理,再加以证明的,很多情况下,数学发现的过程首先是经过实验,即观察、分析,然后提出猜想,最后才是证明。虽然数学实验和物理、化学或生物学的实验在做法上有很大的差异,但是它们的精神是一致的。特别是计算机技术的飞速发展大大发展了数学实验的手段,使得我们对各种数学对象的观察,对各种数学图形、图像和图表的观察,对逻辑推理过程的观察,对数学式的结构特征的观察,对各种数据和数量关系的观察,都变得方便、快捷、准确、清晰了,它不仅为用数学方法解决更多的实际问题创造了良好的条件,也为加速数学本身的发展提供了更多的机会。

开设高等数学实验课,不仅仅是为了使学生掌握必要的数学知识,更重要的是一方面为了还原数学发现过程的本质,使学生在自己的探索实践中体验到知识发生的过程,不仅知其然,更是知其所以然。另一方面数学实验过程也是一个科学研究、探索真理的过程,在数学实验过程中,学生亲自动手操作,从一个旁观者变成了一个参与者,由被动学习进入主动探索状态。学生学习数学不是为了研究数学本身,更主要得是数学的应用。在数学教学中理论联系实际,通过学生的动脑、动手,提高学生学习数学的积极性与主动性,加强学生对数学的应用意识,逐步将所学数学知识转化为技能[1]。因此,开设高等数学实验课有助于激发学生的学习主动性和提高学生的自主学习能力,有助于培养学生的探索性思维和创新意识,有助于培养学生应用数学知识分析、解决实际问题的能力以及应用计算机进行科学计算的能力。

二、如何开设高等数学实验课

目前,国内各高校高等数学实验的开设有两种模式:一种是单独开设一门课程,进行系统的讲解与上机实验;另一种是将数学实验穿插到高等数学的教学之中。我校作为新升本院校,根据自身的实际情况,采用了后一种模式。下面,我们主要从高等数学实验的教学内容、教学模式以及需要注意的几个问题(三个方面)来探讨如何开设高等数学实验课。

1.高等数学实验的教学内容

高等数学实验内容可分为基础部分和综合部分:

在基础实验部分,首先着重讲解数学软件的功能和操作原理以及如何利用它来实现高等数学中的符号运算、数值计算和图形绘制等,然后围绕高等数学的基本内容,包括函数与极限、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、微分方程等,开设实验的内容,主要包括计算、验证、演示和模拟实验。

(1)计算实验可以通过数学软件求导数、求积分、解方程(组)和级数展开等,把学生从复杂的推导和运算技巧中解放出来,使学生把主要精力放在数学方法和数学基本内容的学习上。

(2)验证试验可以实现数学定理、重要公式等结论的计算机证明,例如验证两个重要极限以及牛顿-莱布尼茨公式等。

(3)演示实验可以直观而形象地演示各种静态和动态的图形,将难以讲解说明的数学规律显现出来,例如函数的图形可以帮助学生理解函数的各种性质:单调性、凹凸性、极值等。

(4)模拟实验可以模拟一些数学概念的过程和结果,使数学变得具体化、现实化,加深学生对这些核心概念和相关基本概念的理解和掌握,例如数列和函数的极限,函数的连续和间断以及定积分等。

综合实验是让学生运用已掌握的数学知识和实验知识,独立地、创造性地去解决一些实际问题。综合实验的内容可以取自于科学研究中的基础问题和工业、农业、工程、经济、军事、管理、生活等各个应用领域的经过简化的实际问题,选择时应该遵循可接受性、实用性、开放性、趣味性等原则[2],考虑因材施教的问题,以学生所学专业及学生的数学水平为依据,内容不可过难,以免打击学生的学习积极性,影响教学效果;也不可过易,否则难以引起学生的学习兴趣。

2.高等数学实验的教学模式

传统数学的教学模式是以教师为中心;而数学实验则是更多地以学生独立操作为主,教师辅导为辅,发挥在计算机支持下协同工作、学生主动学习和教师指导监督等各方面的优势,充分利用学生交流、研讨、相互促进的“群体效应”来提升教学效果。在教学过程中,教师采用提问的方式,促进学生勤思考,深钻研,变被动听讲为主动学习,大胆实践。数学实验的教学模式主要有三个基本环节[2]:

(1)理论讲授:由教师讲解实验中问题的背景、相关的数学理论和主要的实验方法,但不需要对理论方法做严格的证明和完整的推导。

(2)分析讨论:由教师组织学生分组讨论,利用所学的数学理论和方法设计求解的方案和算法,最好是以2～4人为一组,也可以是个人探索,视具体情况而定,例如基础实验宜采用个人探索而综合实验则宜分组进行。

(3)上机实验:在教师的指导下,利用相关的数学软件或通过计算机编程进行计算,并对计算所得数据进行分析,找出可能存在的规律,提出自己的猜想,然后通过数学上的分析及可能的数学证明,给出支持该猜想的严格论证,最后完成相应的实验报告或实验论文。实验报告的主体包括实验目的和要求、实验方法和步骤、实验内容和数据记录以及实验结论和体会四个部分。实验论文类似研究论文,要求包括题目、摘要、正文、参考文献等部分。基础性实验一般采用实验报告的形式,而综合性实验则以实验论文的形式为主。

在教学安排上,由于高等数学实验对教学内容进行了模块化处理,因此各个实验基本上是独立的,前后实验没有顺序上的冲突。这时,实验的安排可遵循两个原则:一是由易到难,基础内容在前,综合内容在后;二是实验课要与理论课相结合,实验内容应围绕学生刚学不久或即将要学的理论知识,这样可以提高学生做实验的兴趣,加深学生对理论知识的理解。

为了确保高等数学实验课的教学和学习效果,课程结束时可对学生进行适当的考核和成绩评定,并将成绩计入高等数学理论课的成绩之中,占该课程成绩的30%左右。考核成绩以学生提交的实验报告和实验论文为主,兼以学生的实验态度和表现进行综合评价。学生的每个实验都由任课教师依据“真实性、知识性、实践性、创新性”这四个方面综合给出成绩,课程的最终成绩根据每个实验的成绩按加权平均的方法得出[3]。

3.需要注意的几个问题

高等数学实验作为一门新兴的数学课程,许多问题尚待探索。在实际教学过程中,除了教学内容和教学模式外,我们认为还应处理好以下几个关键问题:

(1)教师与学生在教学中的主从关系问题[3]。学生是实验主体,教师的作用通过引导、点拨、启迪等方式加以发挥。教师不宜讲得过精过细,以免把实验课变成上半时听下半时敲键盘,而是留出一定的遐想空间,让学生自己去查阅资料、思考和设计,亲身经历和体会其中乐趣,学习数学方法,培养数学素质。

(2)数学软件和数学思想方法的关系问题[4]。开设数学实验首先要解决的问题之一是软件平台的选择。选择一个合适的、功能齐全的数学软件平台十分重要,我们选择的是Mathematica。该软件易学易用,有着强大的符号演算和数值计算功能,可以方便地做出函数的图形,非常适合高等数学实验课的特点。学生必须首先要熟练使用这一软件,但这不是主要目的,主要目的是让学生通过使用该软件提高解决实际问题的效率,不必花大量时间去考虑编程等技术细节,而是集中精力探索解决问题的数学思想方法。再者,虽然Mathematica功能强大,但还是有其局限性的,一些人工不难求解的高等数学问题,使用Mathematica却无法计算。因此,数学软件只是一种工具和手段,学生应精力集中地进行数学方面的探索,不可本末倒置。

(3)任课老师的自身素质问题。任课老师的自身素质直接影响教学的效果,因此,第一,教师首先要转变教育思想、教育观念,深化教学改革,在提高教学质量方面走在前面。第二,教师不仅要有较强的责任心,扎实的数学理论基础、丰富的教学组织经验,而且还应有较强的使用计算机进行科学计算的综合能力。第三,掌握几种常用的通用数学软件和一定的编程能力[5]。

总之,高等数学实验课可以为学生创造出一个现代科研工作的模拟环境,能够激发了学习数学的积极性,提高学生的综合素质,培养学生的创新意识和分析问题解决问题的能力。高等数学实验作为高等数学理论教学的补充,完善了高等数学的教学内容,革新了高等数学的教学模式,更新了高等数学的教育观念,这对推动高等数学教学的全面改革,加强素质教育有着十分重要的现实意义。

参考文献:

[1]石卫国.新升本院校高等数学中增加数学实验内容的认识与思考[J].考试周刊,2008,(30).

[2]罗汉,万中,王利平.数学实验课程的内容体系及教学模式[J].数学理论与应用,2001,(11).

[3]王育宽等.“数学实验”课程体系的构建[J].河北职业技术学院学报,2003,(6).

[4]冷劲松,黄廷祝,傅英定.“数学实验”教学的几点体会[J]. 大学数学,2004,(6).

[5]田学全.对理工科非数学专业开设数学实验的探索与实践[J].塔里木农垦大学学报,2003,(9).

(责任编辑/王丽君)