数学符号语言与自然语言的关系探微

摘要：数学符号语言脱胎于自然语言，自然语言为数学符号的产生提供条件，自然语言的缺陷使得人们探索简明的符号来表达数学概念和数学关系。本文浅要分析了自然语言对数学符号的产生和发展的影响，并通过自然语言和数学符号语言的简单对比显示数学符号语言独有的特点，最后类比汉字“六书”造字法将数学符号语言予以分类。

关键字：数学符号 自然语言

一、引言

《汉语词典》中，对语言的解释有“人类最重要的交际工具，是人类思维和表达思想的手段，也是人类社会最基本的信息载体，是人区别于其他动物的本质特征之一。它是以语音为物质外壳，以语词为建筑材料，语法为结构规律而构成的符号体系。简而言之，语言是人类进行沟通交流，传递信息的工具，是人类思维活动的载体。本文所说的自然语言是指由一定的历史文化演变产生的语言，区别于人类为某种需要而创造的语言，如汉语、英语为自然语言，而计算机语言就是非自然语言。

数学语言是在自然语言的基础上形成和发展的，是一种表达科学思维的载体。数学语言通常分为文字语言、符号语言和图表语言。而数学符号语言作为数学语言中的最高抽象，具有鲜明的数学思维特征。数学符号语言正是为适应数学思维的需要而产生的，可以说，是非自然语言。但是数学符号语言是从自然语言演变而来，又可以说是自然语言的一部分。那么，数学符号语言与一般的自然语言究竟有哪些千丝万缕的联系？

二、数学符号语言与自然语言的关系

（一）数学符号语言源自于自然语言

人类语言发展到阶级社会，产生了记录语言的工具——文字，文字是语言的载体，已经发展了五千多年，文字的产生标志着人类步入文明社会。数学符号的产生比语言文字要晚很多，一般来说，16～17世纪在韦达、笛卡尔、莱布尼茨等数学家的努力下，才有了比较系统的数学符号。最初的数学符号是零散的，是文字的一部分。

数学中最早产生的概念是自然数的概念，最早产生的符号是数字符号。在文字产生以前，人们用实物来记数，如小石子、竹片等，以及结绳记数和刻痕记数。在文字产生以后，人们用文字记数，各个民族的文字差异也使记数符号有很大的区别。直到数字符号统一之前，各民族的数学符号与本民族的文字是交融在一起的，是建立在本民族语言文字基础上的。例如，古埃及的数学系统源自于象形文字：我国古代的数系则是源自于甲骨文。就算是现行通用的数学符号很多也是取自于文字的缩写或变形，如对数符号“log”是“logarithm”的缩写：相似符号“∽”是“similar”的首字母变形。

（二）自然语言的缺陷导致数学符号语言的产生

自然语言为数学符号语言的产生提供了土壤，但是数学思维要求高度的严密性、抽象性和概括性，使得人们必然要寻求符合数学发展的语言。自然语言是在一定的生活背景和自然条件下形成的，不可避免的带有区域性、民族性和模糊性。有的民族的自然语言本身书写过于繁杂，不具有简便通用性。像我国清末的数学家李善兰等翻译西方数学著作时，用汉字符号代替西方算学符号，这些符号不易书写，艰涩难懂，最终被历史所淘汰。我国古代数学在世界上处于领先地位，但是宋元以后的数学发展却一度处于迟滞状态，很多学者通过研究尖锐的指出，这是由于中国没有适时的引进数学符号体系，中国的闭关锁国和汉字本身的特点阻碍了我国数学的进步和发展。

拉丁字母简便易书写，具有很大的便利性，再辅以其他字母，就满足了数学思维表达的需求。现行通用的数学符号有300多个，常见的有200多个。这些数学符号从产生到统一，经过了不同时期不同数学家长期努力，很多符号并不是一次创造完成的，而是经过了不断的筛选，经历了大浪淘沙，留存至今的精华。数学符号语言的产生便于数学知识的传播，数学知识的应用和数学学科的飞跃式发展，也使人类语言学达到一种新的高度。

（三）数学符号语言与自然语言的辩证统一

数学知识是抽象的结果，但是抽象的思维没有自然语言的支撑，无疑是没有根基的大厦。例如最简单的数学符号“1”，如果它独立出现，就没有任何意义，如果说“1个苹果”“1箱梨”“1个工程”、……这就使“1”有了丰富的内涵。所以说数学符号虽然脱胎于自然语言，但是仍要依托于自然语言。

数学符号产生以后，并非脱离了自然语言，它和自然语言相辅相成，数学符号的传播依然要借助自然语言，而数学符号的发展使自然语言弥补了自身的局限性，得到发展。

三、数学符号语言区别于自然语言的特征

（一）含义的确定性

自然语言的涵义是丰富多彩的，一词多义是它的特色。但是数学的概念、命题和规则都要求科学性，严谨性。数学符号的表达则显现出这样的特点，每个数学符号都有其确定的含义，很少有歧义。例如，自然语言“18岁以下”，是否包含18岁是不明确的，需要作补充说明，而用数学符号“x≤18”，则清晰明确。虽然数学符号中也有表示多重意思的符号，如“+”可以表示“加号”，也可以表示“正号”，但是一般根据上下文其含义是可以判定的，并且数学符号中多重含义的符号不像自然语言的多义性那样普遍。

（二）简明性和抽象性

数学中复杂的运算关系、推理论证，各种概念、命题等，往往用简单的数学符号就能简明的表示出来，正是数学符号的这种特点，数学的符号语言才能够世界通用，源远流长。下表中，分别用数学符号和自然语言来表示数学中的一些简单的概念，做一个简单的比较。

从上表可以看出，数学符号语言的简洁性，自然语言表达比较繁琐，不便于记忆，而数学符号则克服了自然语言的缺陷，数学符号抽象性和概括性的特点，可以用简单的字母来表示任何数。这样不仅便于记忆，也便于数学概念的运用和表达。数学发展到现代，数学模型的建立，在高等代数的领域已经很难看到与现实生活为原型的基础，数学本身的抽象性通过数学符号更好地展现出来。当然，理解这些数学符号语言是建立在掌握数学符号的基础上，必要时，也需要添加文字帮助理解。

（三）统一性和通用性

数学符号语言虽然取自于某几个民族的语言文字系统，但是，发展至今，它独有的特点使它跨越国界，成为通用的语言，它的统一性和通用性是毋庸置疑的。当然，数学语言并不能完全克服自然语言的影响，有时需要遵循本民族语言的习惯。比如我国读数时通常是四个数字为一个单位来读的，分别以“万”“亿”作一个分段。像6，6666，6666读作6亿6666万6666。而英语的习惯是三三分段，分别以以“million（百万）”“thousand（千）”为一个分段，如666，666，666，读作666 million 666 thousand 666。若遵从英语的习惯，中国人就要读作六百六十六百万，六百六十六千，六百六十六。这样读起来非常拗口，也容易产生歧义。

四、数学符号的分类

数学符号语言独有的特点使它为数学的发展提供了动力，简单明确的表达了数学思维。众多的数学符号，各学者的分类标准不同，符号的归属类别也是不一样的。例如，将数学符号分为：元素符号（表示数和几何图形）、运算符号（如四则运算等）、关系符号（表示数、式、图和集合之间的关系）、结合符号（表示运算顺序的符号）、约定符号（如阶乘符号）和性质符号（表示数形的性质）。这种分类是现在普遍认可的，也有学者根据数学符号书写和自身的意义，将数学符号与我国的“六书（汉字的造字六法）”进行类比作了分类，笔者结合自己的理解整理如下：

（一）象形

用文字的线条或笔画，把要表达物体的外形特征，具体地勾画出来。例如“月”字像一弯明月的形状，“山”像山峰的形状。

数学符号中如“△”表示三角形；“∠”表示角；“⊙”表示圆，“⌒”表示弧。这类数学符号主要是几何符号居多。

（二）指事

与象形的主要区别是指事字含有绘画中较抽象的东西。例如“刃”字是在“刀”的锋利处加上一点，以作标示；“凶’字则是在陷阱处加上交叉符号；“三”则由三横来表示。

数学符号中“∥”“⊥”表示两条直线的位置关系，并不是表示平行或垂直本身；“=”表示均衡，大于、小于，某种数量关系中的相等。

（三）会意

会意字是指两个或多个独体字组成，以所组成的字形或字义，合并起来，表达此字的意思。例如“酒”字，以酿酒的瓦瓶“酉”和液体“水”合起来，表达字义。

相当于数学符号中全等符号“≌”，由相似符号“∽”和等号“=”结合，表达全等的含义；还有不等号“≠”；小于等于“≤”；大于等于“≥”，远大于符号“ ”。

（四）形声

形声字由两部分组成：形旁和声旁。形旁是指示字的意思或类属，声旁则表示字的相同或相近发音。例如“樱”字，形旁是“木”，表示它是一种树木，声旁是“婴”，表示它的发音与“婴”字一样。

数学符号中用“Rt∠”表示直角，其中Rt是声，是英文“right”（直）的缩写，“∠”是形；数学符号中很多是文字的缩写，如三角函数符号sin、cos、cot；表示最小最大的符号min、max；自然数的符号N。

（五）转注

当两个字用来表达相同的事物，词义一样时，它们会有相同的部首或部件。例如“考”“老”二字，本义都是长者；“颠”“顶”二字，本义都是头顶；这些字有着相同的部首（或部件）及解析，读音上也是有音转的关系。数学中将根“root”首字母变形成根号的符号；积分符号“∫”是表示和“summa”的首字母拉长，任意符号“∨”是“any”的首字母倒过来加一横表示。

（六）假借

假借已有的音同或音近的字来代表，这种跟借用的字的形义完全不合的字就称为假借字。也就是文字的引申含义。数学符号中加减符号“+”“-”引申为正负号。

这种分类只是简单的类比，数学符号中还有很多是约定的，如因为“∵”；所以“∴”；阶乘“！”；……这些符号本身与表达的含义间没有内在的联系。不能将所有的数学符号硬套进“六书”分类法中。

（本文为教育部人文社科课题“文化视域下的数学课程思维及小学教师素养跟进研究”资助项目成果）