截面法在弯曲变形中的妙用

摘 要 工程力学问题，实际上都是工程或生活实际中的问题。遵循认识论的规律，其研究方法首先是从生活、工程、实验中观察各种现象，从复杂的现象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素，经过抽象和简化建立力学模型。然后通过机械运动的基本规律，对力学模型进行数学推理，从而得到数学模型。最后经过逻辑推理和数学演绎进行理论分析和计算，或者用计算机求解数值。最后分析验证结果。截面法就是这种分析问题方法的理论产物。在实际的工程当中，我们所常见的构件变形通常有四种，即拉伸压缩变形、剪切变形、扭转变形、弯曲变形，这四种变形的内力分析及求法都是用截面法来求解的。弯曲变形相对于其他三种变形，稍微复杂一点。故此，截面法在弯曲变形中的巧妙应用，显得尤为重要。

关键词 变形；截面法；梁；内力；剪力；弯矩

中图分类号TB12 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2013）104-0123-02

截面法是指用一个假象的截面把杆件截开，分为两部分，任取其一作为研究对象，进行受力分析，在截开的截面处，用一个或几个内力来代替另一部分对研究对象的作用，然后，用力学平衡求解内力的方法。截面法求杆件内力的步骤可以归纳如下：

1）在需要求内力的截面处，假象的用一平面将杆件截成为两部分，任选其中一部分作为研究对象，画出作用于该部分的所有外力；

2）画出留下部分的截面上的所有内力，以此取代另一部分对所研究部分的作用；

3）对所研究的部分建立静力学平衡方程，求解此方程，确定内力的大小与方向。

截面法是静力学中求解内力的一种基本方法，在讨论杆件其他上述变形的时候，也会经常用到。

习惯上把产生弯曲变形的杆件称之为梁。如图所示简支梁：受已知力F和已知力偶M=Fa，试分析和计算各截面的内力。

分析：设A、B两点的支座反力为FA，FB，方向向上。

据题意，利用平衡条件ΣMA（F）=-Fa-M+FB·3a=0 FB=F

利用截面法：假象用1-1截面切开梁，分左、右端两部分，取左端梁为研究对象进行受力分析，如图（a）（b）（c）所示，C1为1-1截面形心， 由（a）图可以得知，显然，左端只受FA作用是平衡不了的，所以在1-1截面处必然有一个与FA大小相等，方向相反，作用线平行且与截面相切的内力FS与之平衡，如图（b）所示，此二力恰好又构成了一个力偶，因此，在1-1截面上并非只存在FS使得左截面处于平衡状态，应还存在一个内力偶矩M与M（FA， FS）平衡，如图（c）所示。FS称为剪力，M称为弯矩，二者为弯曲变形的内力。也就是此时，用FS和M两个内力来代替右端梁对其的作用。最后利用平衡条件求解两个内力的大小。

利用 ΣMC1（F）=0- FA·x+M=0M= FA·x=F·x；当x无限a时，弯矩M=Fa （x为1-1截面距离左端A点的梁长；C1为截面形心）。FS、M的方向如图（c）所示。这是取左端梁为研究对象，接下来用截面法取右端为研究对象，进行受力分析，如图（d）所示：同理，可求得：

剪力 FS= F；弯矩 M= F·x（x为1-1截面距离左端A点的距离）。当x无限a时，弯矩M=Fa

同理，可求得2-2；3-3截面的剪力和弯矩。

对比可见，取截面左端梁或右端梁所求得的剪力和弯矩大小相等，方向却相反，故此，为了使不管取某截面梁的左端还是右端所得到的剪力和弯矩大小相等，符号一致（要正都正，要负都负），对剪力和弯矩的正负利用截面法作如下规定：

取左端梁时，截面在右，向下的剪力为正，逆转的弯矩为正；取右端梁时，截面在左，向上的剪力为正，顺转的弯矩为正。否则为负。

上例中，不论取左端还是右端的剪力均为正，弯矩也为正。如图所示。当然，在具体的计算过程中，不知道正负的情况下，这时，可先假设剪力和弯矩的符号都为正的进行计算，如果计算出来为正值，说明实际方向与假设方向一致，如果计算出负值，说明实际方向与假设方向相反，并无其他含义。

综上，是对截面法在弯曲变形应用中的实例分析。实际上，截面法是材料力学用以显示和计算杆件内力的基本方法。

巧妙应用截面法可以使分析问题和解答问题达到事半功倍的效果。

参考文献

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