随机微分方程在水文地质计算中的应用

摘要:本文简要介绍了随机微分方程（SDE）的一些基本知识，并与确定性微分方程进行了对比。较为系统地阐述了在水文地质计算中建立SDE模型的原理和方法，讨论了无限平面、条带状及扇形区域等几类典型地段SDE模型的建立和解法，并给出实例予以说明。

随机微分方程（stochastic Differential Equation，缩写SDE），是概率论分支中随机分析的主要内容，不仅其理论得以迅速发展，而且也逐步开拓着应用范围，特别是近十几年来，在各种不同的领域内，如：原子物理学、化学动力学、流体力学、群体遗传生物学、通信等，乃至社会科学和工程实际中都相继开展了应用SDE理论的科学研究。国内外一些水文地质专家和学者在应用SDE模型于地下水计算方面作了一些可喜的尝试。本文从应用的角度出发，简要介绍SDE理论的基本内容，并与确定型微分方程比较异同；针对几种典型的水文地质工作区域的特点，讨论了水文地质计算中建立随机微分方程模型及求参计算的基本方法，而有关用SDE解模拟地下水水位的所谓正问题，已另文讨论。并以带状含水层中反求参数为例，说明处理二维模型时可化为一维计算的方法。

一、确定性微分方程与随机微分方程

一般说来，在微分方程定解问题中，无论是未知或已知函数项、参变系数以及定解条件，只要有随机变量出现，就可将该微分方程视为随机微分方程。显而易见，确定性微分方程是随机微分方程的特例，后者是由前者发展起来的。由于SDE理论研究的逐步深入，使确定性微分方程的一些经典结果得以深化和更为圆满的表示。两者的结合，成为现代分析和应用数学最为活跃的核心内容之一。我们对确定型方程比较熟悉，现行地下水动力学中多用它描述地下水运動的。将随机微分方程用于地下水计算是近十几年才荫发起来的，仅是初露锋芒。

随机微分方程的解是一个随机过程（随机函数），简称解过程，因而不仅要从方程中求出解过程的表达式，还必须进一步知道它的有穷维联合分布，这是十分困难的问题。与确定性微分方程中讨论解的性质类似，SDE理论中同样要研究解过程的有界性，连续性、稳定性等特性，这是数学理论工作者偏重研究的所谓一类深问题；由于分工和目的不同，工程技术人员则喜爱去求解过程的某些数字特征（如平均值，相关矩），来满足实际需要。产生确定性变量和随机变量的数学空间不同，所以确定性微分方程与随机微分方程在方程表示类型、求解方式和目的上都有较大差异。不同于确定性模型中方程按结构被划分抛物、椭圆和双曲等偏微分方程类型，SDE理论则注重从随机变量出现位置、随机过程类型及随机积分的方式不同来分类讨论。对于样本函数具有较好分析性质的一类随机微分方程，可化成与确定型方程相同的形式，基本上能借助于确定性方程求解的方法来进行。如分离变量法、积分变换法和常系数线性方程解法。将确定性解作形式上的推广，再求出解过程的概率分布和数字特征。如描述初始位置具有随机起伏的自由落体运动的拟随机微分方程。

（I）（（）为随机变量，并假定其服从正态分布）

解的表现形式为一随机过程。若则的概率分布密度如下：

，于是，相应的数字特征：。

又如含有随机力函数项的方程：

（Ⅱ）

现在用于研究地下水运动的SDE模型主要是上述这两类。从应用的角度出发，解SDE模型不外乎有两条途径：一是先求出解（随机过程）的概率分布函数，再计算实际需要的有关数字特征（如：均值、协方差等）；另一条途径则是先对随机微分方程等式两端取均值，然后将其按确定性方程求解方法计算。但是，若从理论研究方面考虑，如果方程中含有样本函数不可求长的随机过程的微分或积分，比如方程中出现布朗运动或“白噪声”过程，用通常的微积分难以解决，必须建立新的随机积分理论。这种积分决非仅将牛—莱公式作形式推广，而是有本质变化。研究随机积分需要有严密的理论基础，仅在此给出一个简明的例子，试图以启示方式说明SDE理论是确定型议程的进一步发展，并且有质的改进。设随机微分方程：

（Ⅲ）

是样本函数不可求长的随机过程。

若用确定性微积分，分离变量，从形式上应有：

。由初始条件知c=1，

。 （1）

由于不是一般的微分，必须用伊藤了随机积分，则方程（Ⅲ）的正确解为：

（2）

比较（1）与（2）式可看出，决不仅是形式差异，表明客观事物随机变化所具有的新特征，显示出随机微分方程在本质上有所发展。

综上所述，随机微分议程比确定性方程更为精确地刻划了实际问题，更适合为研究像地下水运动这样复杂随机系统的数学工具，可参见〔2〕中对地下水计算中SDE模型的介绍。我们不仅可用随机结果表示和判定确定性方程解的真实性，并可用解过程的数字特征表达式估计误差限度等：所以说，随机微分方程是人们对客观规律认识的深化，为地下水计算开辟了一条新的途径。

二、地下水计算随机微分方程模型

人们已比较熟悉地下水运动的确定型方程，并且对许多定解问题得到了较为满意的解析解或数值解。然而，在水文地质计算中应用SDE模型，则仅作了一些初步尝试，需要更进一步较为系统地分析讨论地下水计算中建立SDE模型的基本原理、方法及用途，并推广到二维情形。

地下水运移之随机特征勿庸置疑，地下水变化的随机过程性质由地下水动态数据的统计分析也已表明。应用随机微分方程需要有较严格的理论基础。首先要表示出线性渗透定律和水流连续性原理。随机线性渗透定律为：

；

表示综合各种现象的随机事件，V、K、I、均是与有关的随机变量或随机过程。

随机连续性原理则是：

（）*

饱水带中同体介质的流入量与流出量以概率1相等。这两个基本定理不仅仅是形式发生变化，而是思想方法也产生了飞跃。同时还可进一步讨论近似随机等价条件下的连续水流问题。由地下水运移随机机理，特别是介质颗粒直径远小于含水层厚度和广度时，水质点的运动可近似看作布朗运动。这些都说明在水文地质计算中可以考虑引进随机积分和SDE模型。一般说来，确定性模型仅是随机模型的特例，某些情况下，前者则可作为后者的均值来处理。地下水计算中的SDE模型，主要用途不外乎有两类：其一是根据前面提及的理论和方法，求出类型如（I）和（Ⅱ）的地下水运动SDE模型的解过程及数字特征表达式，分析和预测水位变化：再者就是利用SDE模型反求水文地质参数。一维模型计算参数的基本原理、方法和步骤是：首先建立计算区域的随机模型，用形式上的确定型解法求出理论解，并用概率方法计算出解过程的数字特征。赋予理论解的数字特征以不同的参数值，制成一簇标准曲线量板。另一方面，视同一地区为具有随机输入与输出的地下水随机系统，用系统分析方法表示出输入与输出的转换方式。输出即作为随机模型解（地下水水位函数）的实际离散值，并找出输入与输出的转换函数与理论解的相关函数（数字特征）的对应关系等。根据实际输入输出资料计算，绘出实测曲线，与理论量板匹配，由最佳拟合线求出所需参数。这点与非稳定流配线法求水文地质参数类似。与确定性方法相比，用随机方法反求参数比解正问题更显示出优越性，能大大节省计算量。需要补充指出：建立SDE模型是 相等，由谱分解表达式变换所得结果是原模型成立的充分条件。继而讨论几种典型情况用二维随机模型反求参数的方法，以一维方法和结果为基础。为了简便，仍假定各随机函数仅在时间轴上具有不确定性，所以只需用到二维随机过程知识（严格说来，应引进多指标随机过程）。1．无限平面地区的二维SDE模型

当工作区足够大，岩性结构基本一致，外界环境大致相同，并可定出两条近乎垂直的地下水流向，如湖积相地区等时，于是，以选定的相互垂直地下水流向作为横轴和纵轴，设代表水位，显然是的随机函数。S和T分别表示储水系数和导水系数（各向同性），为附加函数，可表示各类补给项等。则一类地下水运动二维随机微分方程一般形式记为：

（3）

利用平稳过程谱分解表达式，即Fourier — Steltjes 变换：

（4）

、是正交增量过程，d、d为随机振幅，，为圆频率。将（4）代入（3）中：（书写时略去）

．

对求导后则得出：

（5）

为表示方便，记：

（5）式可写作：

（5）

式中为导水系数。将确定型的分离变量法与常系数线性议程解法结合，则（5）的形式解为：

（6）

其中．根据实际问题不同的边界条件确定、、和。当计算参数地点位于某一坐标轴上时，则可直令另一坐标变量为常数。所得结果（6）仅是一维模型解的常数倍，完全可按一维方法，利用已经获得的理论量板[5]配线，计算出所需参数。若求任一点处的参数值，依据矢量分解与合成的方法，将地下水流动看作是沿两坐标轴运动的综合作用。分解后分别按一维模型计算，最后合成即得到处的参数

2．条带形区域

在实际工作中，经常会遇到近似平行的自然边界。对这种呈条带形状的工作区域，如大致平行的天然河流、断层等分工作区为个条带，或是基本平行的分带岩性结构。在每一条带中，令（6）中一变量为常数，同样可化作一维情况来处理。不妨记作在轴上过、，…，个点，作平行于轴的一组平行线截工作区为X条带状区域。在第条带中{：，}，（=1，2，…，），建立一维模型，然后进行计算。

3．扇形地区

由于在冲洪积扇地区进行地下水计算时，边界条件适宜极坐标表示。所以将（5）改写为：

（7）

其形式解为：

（8）

同样根据实际情况中提出的不同边界条件，定出常数。当 取定不同值时，对变量r按一维模型计算。单井抽水模型也可按此方法化作极坐标后进行。

然而，我们仅能在此讨论处理二维模型的一般方法，即力图将其转化成一维模型计算。

这样就不必重新绘制理论量板。对于许多复杂的实际情况，可参照进行。

三、实例分析及问题讨论

有一实际工作区是冲积平原，工作区内有两条流向基本一致的自然河流，岩性结构分带和地下水流向大致平行河流，气象环境条件相同。于是，将整个工区视为二维条带状区域。OX轴平行河流，OY轴与其垂直。将岩性分带线、河流近似看作y=yi的一组平行线，依次编序号。然后建立SDE模型。由于资料限制和实际工作需要，我们仅在两条河流中间（y1

与一维解相比，有放大常数因子k倍及b发生1/2倍的变化，这表现在理论置板上仅是按比例放大与伸缩。因而不妨取k=1，完全不影响利用已有一维结果配线求参。最后将所得结果与其它方法计算值相比，效果较好。

然而，将随机微分方程用于地下水计算尚处于初步开创阶段，国内外文献中可供参阅的实例为数不多。因而，这种方法还未达到水文地质计算界接受和认可的地步，更谈不上广泛应用。由于SDE理论本身还存在许多尚未解决的难题，加之实际应用时又要受到种种不利因素限制，给我们设下道道难关，需要共同努力予以攻克。我們认为：目前必须解决如下几类主要问题：对于各种复杂边界条件，建立不同于前述的随机模型，而且由一维推广到多维，求得结果并绘出理论量板，为实际应用奠定基础；在地下水运动方程中，把函数项、参变系数及定解条件都看作是随机变量，讨论这类严格意义的随机微分方程的解法及解过程性质，以求更深刻、更全面和更精确地分析地下水变化：研究地下水运动随机过程类型，将随机积分方法引入类型(Ⅲ)方程的地下水计算中等。这些都是发展和完善随机水文地质计算理论和方法不可缺少的内容。