Ｍａｔｌａｂ在控制系统稳定性判定中的应用研究

［摘要］介绍了控制系统稳定性的概念，论述了利用极点判断法、特征值判断法、李雅普诺夫函数判断法等三种方法判定系统稳定性的原理，并用MATLAB具体实现了各种分析方法。

［关键词］MATLAB;控制系统;稳定性;李雅普诺夫；

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0引言

任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,开始产生偏差.所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能.系统的稳定性是系统设计与运行的首要条件,只有稳定的系统才值得分析与研究,才有必要分析研究该系统的其他自动控制问题.在经典控制理论中,线性系统稳定的充分必要条件是:闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均严格位于左半S平面.

1利用极点判断系统的稳定性

该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观地判定一个系统是否稳定。

下面以闭环系统的传递函数为

为例，判定其稳定性。要判定该系统是否稳定，利用matlab快速求出其零极点并绘制零极点分布图，程序如下：

从计算结果和零极点分布图都可以看出该系统极点并不都在左半S平面，所以该系统不稳定。

2利用特征值判断系统的稳定性

为系统的特征多项式。其中，a1,a2,……an 称为系统特征多项式系数。令特征多项式等于0，特征多项式的根称为系统的特征值，即系统的闭环极点。当然系统的稳定性同样可以利用特征值来判断。

例如一系统的状态方程为：

A = [2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;

0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75];

B = [46;24;22;2];

判定该系统稳定性。

matlab求解程序为：

A = [2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;

0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75];

B = [46;24;22;2];

p = poly(A);%求特征多项式系数；

r = roots(p);%求特征多项式根；

result = find(real(r)>0);

if(length(result)>0)

disp("System is Unstable");

else

disp("System is Stable");

end

程序运行的结果为

System is Stable

结果表明该系统稳定，从这个例子可以看出，我们可以利用matlab简洁的编程，将许多的分析交给程序来处理，直接得到我们所需要的结果。

3利用李雅普诺夫第二法来判定系统的稳定性

在高阶系统或者特征多项式中，当某些系数不是数值时，利用求闭环极点或特征值的方法来判定系统的稳定性式比较困难的。

4结论

通过本文的论述和实例分析可见，利用matlab分析控制系统的稳定性具有变成简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点。由此可见，MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。

参考文献：

[1] 杨自厚.自动控制原理（修订版）[M].北京：冶金工业出版社，1996

[2] 楼顺天，于卫.基于MATLAB的系统分析与设计——控制系统[M].西安：西安电子科技大学出版社，1999

[3] 李国勇，谢克明.控制系统数字仿真与CAD[M].北京：电子工业出版社，2004

[4] 王晓燕，冯江.自动控制理论实验与仿真[M].广州：华南理工大学出版社，2006

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文