相似三角形在高中物理中的应用

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摘 要：全国卷对学生的数学要求较高。相似三角形是高中物理中常用的数学工具。分类叙述了高中物理中利用相似三角形解题的类型。

关键词：高中;物理;相似三角形

从2016年起广东高考采用全国卷课标Ⅰ卷。与广东卷相比，全国卷具有难度大，文字量大，考点规律性低等的特点。其中，数学工具运用的高要求是造成全国卷难度大的一个重要的因素。高考考试大纲中明确指出高考物理科要考核的能力包括“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论;必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”。

在运用几何图形分析方面，物理解题最常用的数学工具是直角三角形，物理中用到的三角函数和勾股定理都需要在构建出来的直角三角形中使用，一般情况下教师会针对三角函数和勾股定理对学生进行针对训练，因此学生对这两种规律的应用掌握得比较好。但是当题目不出现直角三角形时学生往往手足无措无从下手，这时相似三角形为学生提供了第三种解决物理问题的方法。相似三角形是初中的数学知识，在高中物理中是常使用的数学工具，是学生必须掌握的解题工具之一。高中物理中利用相似三角形解题的类型有以下几类。

一、

斜面上的物体受力分析

例1 一质量为m的物体静止在粗糙的斜面上，按重力的作用效果对重力进行分解。

解析：重力分解如圖。力的示意图中，力mg、F1（或力mg、F2）所在的三角形和斜面所在的三角形相似。

点评：受力分解矢量三角形和装置形状相似。

二、 动态分析

例2 如图所示，垂直杆AO的O端固定有光滑铰链以固定轻杆BO，杆BO与杆AO间的夹角为θ，B端悬挂一重物并与一绳子连接。绳子在光滑的小滑轮上跨过杆顶部，用力F拉住绳子，使夹角θ缓慢减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况为

（  ）

A. FN始终不变B. FN先减小，后增大

C.

F先减小，后增大D. F逐渐减小

解析：设物体的重力为G。对结点B做受力分析得B点受绳子拉力F、悬挂物体的绳子的拉力F1和杆的支持力FN，如图作出力FN与F的合力F2，由结点B平衡可知，F2=F1=G。由力三角形和装置三角形相似得FNF2=BOAO得到FN=BOAOG，由于BO、AO、G均不变，则FN保持不变。同理：FF2=ABAO得到F=ABAOG，由于AO、G不变，AB逐渐减小，所以F逐渐减小。故选AD。

点评：受力合成三角形和装置形状相似。

例3 某同学利用电场研究物体的平衡，用轻绳系一带正电的小球，放入水平向右的电场中，此时电场强度大小为E1，轻绳与竖直方向成θ角（θ<45°）。使电场方向在同一竖直平面内逆时针转过θ角，当电场强度大小为E2时，轻绳与竖直方向仍成θ角。使电场方向在同一竖直平面内逆时针再转过θ角，当电场强度大小为E3时，轻绳与竖直方向仍成θ角。则

（  ）

A. E1=E3>E2

B. E1

C.

E1=E3

D. 绳子拉力逐渐减小

解析：以小球为研究对象，分析其受力情况，小球受三个力：重力、绳子的拉力T、电场力F。根据平衡平衡条件得知，T和F的合力方向竖直向上，大小与重力相等，此力大小方向均保持不变，作出电场三个不同方向时，两个力的变化如图，由几何关系得F2与T垂直，F1F2所在的三角形与F2F3所在的三角形相似，可得，F1=F3>F2即E1=E3>E2。由图看出，绳子拉力减小。故AD正确。

点评：受力合成三角形变化前后相似。

三、 运动学

例4 （2013课标Ⅰ）水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R。在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐标系中的（0，21）、（0，-1）和（0，0）点。已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动;B平行于x轴朝x轴正向匀速运动。在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点（1，1）。假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小。

解析：初始状态可知ARRB=2ll=21，细橡皮筋均匀伸长，末状态仍为ARRB=21，因此HEEF=FIIG=ARRB=21。由运动学公式代入可得所求B运动的速度。

点评：装置特性引起的相似。本题运动学知识较简单，不存在难点。阻碍学生得分的难点在于橡皮筋特性引起的位移关系。学生审题后未能找出装置特性写出相似关系是本题得分率偏低的原因。

四、

平抛运动

例5 如图，一直升机进行救灾物资的投射，当经过一山坡底端M点正上方N点时，飞机以水平向左的速度v0投出一包裹A，A刚好垂直落在山坡上，设山坡倾角为45°，包裹A飞行时间为t1。若第二次直升机在N点无初速度投下包裹B，B刚好落在M点，设包裹B飞行时间为t2，不计空气阻力，则t1与t2之比为

（  ）

A. 1∶2 B. 1∶2

C. 1∶3 D. 1∶3

解析：包裹A刚好垂直落在山坡上，说明速度方向与山坡垂直即与水平方向夹角为45°，tan45°=vyv0=gtv0=2yx=1，可得y=x2，又由几何关系得N点高度h=y+xtan45°，即h=3y。因此，A、B下落高度比为1∶3，由h=12gt2可得包裹A、B飞行时间比为1∶3，D正确。

点评：运动分解三角形和装置形状相似。本题难点在于：1.

不能从“垂直落在山坡上”分析出包裹A落在山坡上的速度方向;2. 不能从几何关系中找到A的落地到地面的高度，无关找出隐藏的相似三角形。

五、

带电粒子在方向相反的相邻两个磁场内的圆周运动

例6 （2014广东卷）如图所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面，Ⅰ区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离均为L。质量为m、电量为+q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区，P点与A1板的距离是L的k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。

（1）若k=1，求匀强电场的电场强度E;

（2）若2

解析：粒子经过相邻的两个磁场，在磁场中发生偏轉，作出两次偏转时的半径如图。两条半径与磁场分界线组成的两个三角形相似，因此有k3-k=rr1。代入特征方程qvB=mv2r中可得所求关系式。

点评：磁场特性引起的相似。本题为2014年广东高考题，本题难点在于无法找出两个半径的关系。

综上可知，需要使用相似三角形进行解题的题目往往在装置上具有以下特点：1. 装置形状具有一定的特点，例如装置本身就为三角形;2.

所在的场有一定的特点，例如两磁场相邻。

从以上例子可以看出相似三角形作为数学工具应用在物理上还是很常见的，可以说在高中物理上它是继三角函数，勾股定理后第三常用的几何类数学工具。在教学中，引导学生总结出需要使用相似三角形解题的题型特征，并通过训练使学生达到熟练运用的效果并不是一件困难的事，这对于提高尖子生的考试成绩往往起到重要的作用。物理教师在教授物理知识的同时，还要注重教授数学工具的使用，适应高考考试要求，降低学生学习物理的难度，增强学生学习物理的兴趣和信心，从而提高学生的物理成绩。

参考文献：

[1]2016年普通高等学校招生全国统一考试理科综合考试大纲的说明.

[2]2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）理科综合第24题.

[3]2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科综合第36题.

作者简介：

郑维靖，广东省江门市，广东省江门市第一中学。