动力学中的临界极值问题探析

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所谓临界状态，是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或物理状态）的转折状态.临界现象是“量变引起质变”的哲学思想在物理学上的生动体现，极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况.临界问题往往是和极值问题联系在一起的.

在解决临界极值问题需注意以下几点：

（1）临界状态是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，一些物理量达到极值.

（2）许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”等词语，对临界问题给出了一定的暗示，审题时只要抓住这些特定词语的内涵规律就能找到临界条件.

（3）有的临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向.

解决动力学的临界极值问题通常有两类方法，一类是物理方法，另一类是数学方法.

一、用物理方法解临界极值问题

直接把物理问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件，讨论临界状态，找出临界条件，从而求出临界值.

例1 一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图1所示，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s²的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力的大小.

解析当加速度a较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力m、绳的拉力T和斜面的支持力Ⅳ三个力作用，绳平行于斜面.当加速度a足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球只受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a=10m/S²时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球恰好离开斜面的临界加速度ao，此时，小球所受斜面支持力恰好为零.

由mgcotθ=mao

得ao=gcotθ=7.5m/s²

而a=10m/S²>ao

故此时小球已离开斜面，小球受力情况如图2所示，则

例2 一根劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图3所示，现让木板由静止开始以加速度a（a

解析木板与物体之间作用力恰好为零时是两者分开的临界点.

设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg、弹簧的弹力kx和平板的支持力N作用.

对物体，由牛顿第二定律得：

mg-kx-N=ma

当N=O时，物体与平板恰好分离，此时由上式可得：

mg-kx=ma

由于木板一直做加速度为a的匀加速直线运动，则由运动学规律得：

例3如图4所示，质量为M的木板上放着一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2.求加在木板上的水平拉力F为多大时，才能将木板从木块下抽出？设木块与木板之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.

解析 M和m以摩擦力相联系，只有当二者发生相对滑动时，才有可能将M从m下抽出，因此临界状态是：M与m间的摩擦力必定是最大静摩擦力fm，且m运动的加速度必定是二者共同运动时的最大加速度am.

设此时作用于M的力为Fm，再取M、m整体为研究对象，则有

Fm-μ2（M+m）g=（M+m）am

即FFm=（μl+μ2）（M+m）g

当F>Fm，即F>（μ1+μ2）（M+m）g时，才能将木板从木块下抽出.

二、用数学方法解临界极值问题

先以物理定理、定律为依据，求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后运用数学知识求极值，常用的数学方法有函数法、一元二次方程判别式法、不等式法、图象法等.

例4 如图5所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，用大小为F的恒力使物体沿地面向右做直线运动，物体可视为质点，则怎样施力才能使物体产生最大的加速度？最大加速度为多少？

解析 设力F与水平方向夹角为a，对物体受力分析如图6所示.

对物体有

Fcos0一uN=ma

N+Fsina=mg

例5 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查.图7为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB保持某一恒定速率运行.一质量为m=4kg的行李无初速度地放在A处，设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离ι=2m，g取10m/S².求行李从4处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率.

解析 行李无初速地放在传送带上后，先在传送带的带动下做匀加速运动，当物体的速度增加到与传送带速度相等时，与传送带一起做匀速运动.行李运动的v-t图象如图8所示，图线与t轴包围的面积表示行李运动的位移大小，图8画出了行李在传送带不同的运行速度下的v-t图象.由图象可以看出，当传送带运行的速度越大，传送的时间越短，因此当行李从A处一直匀加速运动到B处时，传送时间最短，

行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力

f=μmg

由牛顿第二定律，得

f=ma

代人数值，得a=1m/S²

得tmin=2s

传送带对应的最小运行速率

Vmin=atmin=2m/s

临界极值问题是动力学中常见而又重要的一类问题，解决这类问题，正确的受力分析是基础，准确的找到临界极值情况是关键.