细说万有引力的“12345”

万有引力定律是高中物理的重要内容，是联系“天上”和“地上”的纽带，因此成为近年高考的热点.由于该部分内容公式多、关系复杂、题目情景和材料新颖，学生常常感觉难以学好.不过这部分的考题具有相对独特的规律性，下面结合本人的教学实践，从知识网络、解题技巧和难点突破等方面加以归类和总结.

1“一个”定律是中心

万有引力定律：宇宙间任何两个有质量的物体间都存在相互吸引力，其大小与两物质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比.公式F=GmMr2，式中G=6.67×10-11 Nm2/kg2.万有引力存在于任何两个物体之间，但是万有引力定律公式F=GmMr2适用于质点之间.两物体间距远大于其本身的大小时可视为质点，均匀球体也可视为质点.

2“两条”思路是关键

思路一：对于天体表面附近的物体，万有引力近似等于重力，即GmMR2=mg或gR2=GM，式中R、g分别是天体的半径、表面重力加速度.

思路二：对于围绕中心公转的天体，万有引力提供向心力，即GmMr2=ma，其中a=v2r=ω2r=（2πT）2r，式中r是天体的公转半径.

3“三点”常识是基础

3.1三个开普勒定律

第一定律：每个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.

第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线所扫过的面积都是相等.

第三定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，即k=a3T2，k是与中心天体有关的常数.

3.2三个宇宙速度

v1=GMR=gR=7.9 km/s，是卫星进入地球轨道的最小发射速度，也是绕地球运转的最大环绕速度.

v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚而进入绕太阳轨道的最小速度.

v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚飞到太阳系外的最小速度.

3.3三种特殊卫星

同步卫星：①周期、角速度与地球自转周期、角速度相同；②轨道平面在赤道平面上，圆心是地心；③距离地心的距离一定h≈3.6×104 km；④环绕线速度、向心加速度大小均一定.

近地卫星：①轨道半径r≈R（R为地球半径）；②运行速度是所有卫星的最大环绕速度；③运行的周期是所有卫星最小周期；④向心加速度a=g，是所有卫星的最大加速度.

极地卫星：经两极上空环绕地球运行，每一圈都过地球的南北极.

4“四种”题型是模版

4.1天体与卫星的圆周运动问题

此类问题符合思路二的特点，解题的突破点在F引=F向，即从GmMr2=ma=mv2r=mω2r=m（2πT）2r入手.

4.3卫星的变轨与对接问题

（1）从内向外变轨：①卫星在圆轨道上运行时，万有引力提供向心力，GmMr2=ma=mv2r=mω2r=m（2πT）2r.②若增大卫星速度v，卫星的动能、机械能均增大，卫星将脱离原来的圆形轨道而进入椭圆轨道做离心运动；但在到达椭圆轨道的远地点过程中，万有引力做负功，卫星动能减小、重力势能增大、机械能守恒.③卫星在椭圆轨道的远地点再一次增大速度v，卫星可进入新的圆轨道（与椭圆轨道远地点相切），卫星动能、机械能均比椭圆轨道远地点的变大；与原来低的圆轨道相比，由v=GMr知此时卫星的速度较小，但重力势能、机械能均增大.（2） 从外向内变轨则刚好相反.

例3（2010年江苏）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图2所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能

C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

答案A、B、C

4.4万有引力与其它知识的综合问题

万有引力可以与运动学、动量守恒、能量守恒等知识相联系，此类问题知识跨度大、综合性强，需要全面考虑并寻找问题的突破口.

例4（2014年山东）2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程.某航天受好者提出“玉兔”回家的设想：如图3，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球.设“玉兔”质量为m，月球为R，月面的重力加速度为g月.以月面为零势能面.“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep=GMmhR（R+h），其中G为引力常量，M为月球质量，若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为

A.mg月RR+h（h+2R）B.mg月RR+h（h+2R）

C.mg月RR+h（h+22R）D.mg月RR+h（h+12R）

答案D

5“五个”易混淆问题是升华

5.1开普勒行星运动定律与万有引力定律的关系

开普勒三个行星运动定律从轨道形状、转动周期、轨道半径等方面揭示了行星绕太阳（或恒星）的运动规律，而万有引力定律则从行星转动所需要的向心力来源等方面揭示了行星与太阳（或恒星）甚至是宇宙万物之间的力学关系.开普勒行星运动定律是牛顿推导发现万有引力定律的的理论基础，且开普勒行星运动定律，尤其是开普勒第三定律k=r3/T2，在讨论椭圆轨道上周期T大小和速度v大小变化类问题中更加简便.

5.2万有引力与重力的区别

在地球表面：地球表面处重力不完全等于万有引力.（如图4所示）地球表面物体的万有引力F分解为两个分力，其一是地球上的物体随地球自转的向心力f=mrω2，而另一个分力才是物体的重力mg，即F=f+mg.f=mrω2式中的ω等于地球自转的角速度，r表示圆周的半径，随着纬度的升高而减小，两极处为零.因此重力随纬度升高而增大，赤道处最小，两级最大.由于地球的自转角速度很小，所以实际上无论地球上任何地点若不考虑地球自转，可以认为地球表面处GmMR2=mg.

在太空：太空中一般只研究万有引力，不考虑重力的概念.若一定考虑重力的概念，则大都认为太空中的重力就是万有引力（mg′=F），而非f+mg′=F.

5.3加速度与向心加速度不同

卫星在圆轨道上做匀速圆周运动： 万有引力提供向心力，加速度等于向心加速度.

卫星椭圆上运动： 在椭圆轨道上某点运动， 在如图5所示位置，万有引力产生两个效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，引起速率变化，另一方面提供向心（法向）力，改变卫星的运动方向，整个过程周而复始，在整个运动过程中，万有引力产生的切向加速度at和法向加速度an之间的关系如图5所示.因此，只有近地点和远地点两个位置，F=Fn（GmML2=mv2r），加速度等于向心加速度a=an，但是L≠r；其它位置F≠Fn（GmML2≠mv2r），加速度不等于向心加速度a≠an.

5.4天体自身半径R、卫星轨道半径r与天体间距L的异同

天体自身半径R与卫星轨道半径r的区别：r=R+h （h为卫星距该天体表面的运行高度），卫星的轨道半径r大于所绕天体的自身半径R.只有当卫星在贴近所绕天体表面飞行时，才有R≈r.

卫星轨道半径r与天体间距L的区别：在一个天体围绕另一个天体做圆周运动的情况下，有r=L.但在双星系统中（如图6所示），则r、（L-r）分别等于mO、MO间的距离，而L等于mM间的距离.

5.5赤道上物体、近地卫星与同步卫星的联系

“赤道上的物体”与“地球同步卫星”的共同点是：二者具有与地球自转相同的运转周期T地和运转角速度ω地，共同绕地轴做匀速圆周运动；

“近地卫星”与“地球同步卫星”的共同点是：所需要的向心力均由地球的万有引力提供，即

GmMr2=ma=mv2r=mω2r=m（2πT）2r.