聚焦热学中五种基本模型的应用

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热学中分子运动理论和能的转化与守恒定律是高考的热点和重点，而在这些内容中，估算问题是一类典型问题，解答这类问题关键是要建立起相应的物理模型.

一、单分子层模型

在用油膜法测量分子直径时，油酸分子在液体表面形成一层油膜，由于这时的油酸分子是尽量散开的，所形成的油膜为单分子层油膜，故可用公式d=V/S来计算油酸分子的直径.

例1将1 cm3的油酸溶液溶于酒精，制成200 cm3的酒精油酸溶液.已知1 cm3溶液有50滴，现取1滴酒精油酸溶液滴到水面上，随着酒精溶于水中，油酸在水面上形成一单分子薄层.已测出这一薄层的面积为S=0.2 cm2，由此可估算出油酸分子的直径为多大？

解析1滴酒精油酸溶液含有油酸的体积

V=[SX（]1[]200[SX）]×[SX（]1[]50[SX）] cm3=10-10 m3.

单分子油膜的厚度即油酸分子的直径

d=[SX（]V[]S[SX）]=[SX（]10-10[]0.2[SX）]=5×10-10 m.

二、球体模型

由于固体和液体分子间距离很小，因此，在估算分子直径数量级的计算中，常常把固体和液体的分子看成是紧密挨在一起的球体.

例2用线度放大k=600倍的显微镜观察布朗运动，估计放大后的小颗粒（碳）的体积为V=0.1×10-9 m3，碳的密度是ρ=2.25×103 kg/m3，摩尔质量是M=1.2×10-2 kg/mol，试估算该小碳粒中的分子数和碳原子的直径.

解析将小颗粒视为立方体，其边长为a，放大600倍后，则其体积为V=（ka）3，

小颗粒的实际体积V′=a3=V/k3≈4.6×10-19 m3，

小碳粒的质量为m=ρV′≈1.04×10-15 kg，

小碳粒所含分子数为n=[SX（]m[]M[SX）]NA≈5.2×1010个，

一个碳原子的体积V0=V′/h.

将碳原子看成球体，碳原子的直径为

d=[KF（S]3[][SX（]6V′[]nπ[SX）][KF）]≈0.55×10-10 m.

三、立方体模型

对气体而言，在一般情况下分子间距离很大，气体分子均匀分布，可把每个气体分子平均占有空间想象成一个小立方体，任意一瞬间所有气体分子处于各个小立方体的中心，并根据这一微观模型来进行相关计算.值得注意的是，这种立方体模型也适用于计算离子晶体的两个相邻离子之间的距离.

[TP12GW28.TIF，YX#]

例3如图1，食盐的晶体是由钠离子和氯离子组成的，这两种离子在空间三个互相垂直的方向上，都是等距离地交错排列的.已知食盐的摩尔质量是M=58.5 g/mol，食盐的密度是ρ=2.2 g/cm3.阿伏加德罗常量为NA=6.0×1023/mol.在食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心间的距离的数值最接近于下面4个数值中的哪一个？

A.3.0×10-8 cm

B. 3.5×10-8 cm

C.4.0×10-8 cmD. 5.5×10-8 cm[HJ1.2mm]

解析一摩尔食盐中有NA个氯离子和NA个钠离子，离子总数为2NA.因为摩尔体积V=M/ρ，所以，每个离子所占体积V0=[SX（]V[]2NA[SX）]=[SX（]M[]2NAρ[SX）].这个V0亦即图中四个同类离子所夹的立方体的体积.该立方体边长r=[KF（S]3[]V0[KF）].而距离最近的两钠离子中心间的距离为l0=[KF（]2[KF）]r.

联立以上各式得l0=[KF（]2[KF）]×[KF（S]3[][SX（]M[]2NAρ[SX）][KF）]=3.98×10-8 cm.

故选项C正确.

四、弹簧双振子模型

固体、液体间的分子力可以用弹簧双振子模型来类比.设想两个分子由一根轻弹簧相连，分子间的作用力就相当于弹簧的弹力，分子势能则相当于弹性势能.

例4两个分子从靠近得不能再近的位置开始，使二者之间的距离逐渐增大，直到大于分子直径的10倍以上，这一过程中关于分子间的相互作用力的下述说法中正确的是

A.分子间的引力和斥力都在减小

B.分子间的斥力在减小，引力在增大

C.分子间相互作用的合力在逐渐减小

D.分子间相互作用的合力，先减小后增大，再减小到零

解析分子间同时存在着引力与斥力，当距离增大时，二力都在减小，只是斥力减小得比引力快.在r=r0时，引力与斥力的合力为零，相当于弹簧处于原长；当分子间距离rr0时，分子间的斥力小于引力，因而表现为引力，相当于弹簧被拉伸；当距离大于10倍直径时，分子间的相互作用力可视为零.所以分子力的变化是先减小后增大，再减小到零，因而选项A、D正确.

五、弹性球模型

对于常态情况的气体特别是理想气体，分子间距离很大（大于10r0），分子力可以忽略不计，这时可以把气体分子看成一个个无相互作用力的弹性球，它们不停地做无规则的热运动，当与器壁频繁发生碰撞时，便对器壁产生了压强.

例5在常温下，氧分子的平均速率约为v=500 m/s.如果一个氧分子以这个速率垂直地打在容器壁上，并以相等的速率反弹回来，氧分子对容器壁的冲量是多少？如果常温下某容器内氧气的压强为p=1.0×105 Pa，试估算1 s内打在器壁上S=1 cm2面积上的氧分子个数.（假定每个氧分子都以平均速率垂直于容器壁的方向撞击器壁）

解析氧气的摩尔质量为M=32×10-3 kg，

则每个氧分子的质量为m=[SX（]M[]NA[SX）]=5.3×10-26 kg.

根据动量定理，氧分子撞击器壁的冲量为

I=ΔP=mv-（-mv）=2mv=5.3×10-23 N·s.

设单位时间（1s）内打到1 cm2器壁上的分子个数为n，则氧气的压强可表示为p=[SX（]bΔp[]St[SX）]，

所以n=[SX（]nSt[]Δp[SX）]=[SX（]1.0×105×1×10-4×1[]5.3×10-23[SX）]

=1.9×1023个.