涡方法求解运动边界问题

摘 要：现代工业许多工程问题都与运动边界的流体问题相关，如何快速地对运动边界流体问题进行数值模拟一直是备受关注的问题。传统CFD方法往往需要在每一步进行网格重构，从而大大地增加计算量。对已有涡方法进行改进，提高其计算效率与精度，使其更能满足工程问题的需要。

关键词：运动边界流体问题 涡方法 数值模拟

中图分类号：TB126 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）005-096-03

1 引言

自从18世纪工业革命以来，许多科学家一直在寻求推力大，效率高，具有工业应用价值的推进装置。计算流体力学（CFD）的飞速发展，使其在与流体力学相关的各个工程设计中起到越来越重要的作用。现代的飞机以及航空发动机的设计，很大程度上依赖于计算流体力学的应用。用数值模拟的方法辅助叶轮机设计的历史可以追溯到19世纪40年代，而吴仲华1951年的工作中提出的流线曲率法在很长一段时间内都是设计叶轮机械的最有效的数值设计工具，直到上世纪八十年代三维数值模拟逐渐得到应用。CFD的应用可以大大的缩短设计周期，对整个设计做出很好的预测和评估，节约设计成本，特别是实验上人力物力的投入。无论是飞机设计还是叶轮机设计，传统方法都是建立在定常流动的基础之上的，即利用相对运动的原理，假设飞机或者叶栅静止并给定来流，以此模拟物体在流体中的运动，并获得其气动性能。风洞实验其实也是利用相同的原理。但是，在我们的日常生活以及工程实际中，物体之间的相对运动是普遍存在的。虽然建立在定常流动设计基础之上的传统方法（物体边界看做静止）已经使我们的飞机、船舶、地面燃气轮机等等可以顺利的工作，但是如果能有方法能行之有效的模拟和研究物体相对运动所产生的非定常效应，完全有可能使目前的许多工程问题得到更好的解决。具体到航空发动机领域，我们希望通过目前的研究来分析解决叶轮机设计中所面临的许多运动边界的问题，例如：转子静子干涉，叶片颤振等等

都是目前还没有完全认识和理解的问题。另一方面，Weis-fogh机制的发现引发了大量关于非定常升力产生机制以及微小飞行器的研究。从众多已有的工作中我们可以看到，由于这类问题本身必须考虑物体之间的相互运动，用传统方法是很难模拟这样的运动过程。我们目前的工作主要就是尝试建立合理的数值模拟方法以及物理模型，来研究这样三个流体物理问题：空发动机内部转子静子干涉及其引起的一些相关问题。

Chorin在1973年提出的涡方法（vortex method）首先是为了求解粘性流动问题。其基本思想是以离散分布的点涡来描述流场，点涡与物体边界都是在拉格朗日（Lagrange）坐标系下来表述的，通过分别解对流步（convection step）和扩散步（diffusion step），得到流场随时间变化的结果。Chorin的工作是以随机走步（Random-Walk）的方式来处理扩散步的，可以模拟许多粘性流动问题，如钝体尾迹等。但是，这种随机走步的方式并不具有很好的收敛性（Cottet，G.-H.（2000）），必须有大量的涡元才能比较准确的结果。由于涡元随机走步的特性，使得壁面上的物理量分布也发生随机涨落，壁面上的物理量也就不易算准。所以，随机走步涡方法很难对非定常的N-S方程做出适时准确的模拟。因此后来开始使用粒子强度交换法（PSE-Particle Strength Exchange），这是在Cotte G. H.， Mas-Gallic S等人的工作基础上发展起来的一种处理涡量扩散过程的方法。这种方法中，涡元的强度在移动过程中是不断相互交换变化的，这避免了随机走步所引起的随机涨落，使模拟精度有明显的提高。通过一系列的工作验证，这种以PSE为基础的涡方法是可以比较准确的模拟非定常的不可压N-S方程。而由于方法本身采用对涡元和物体边界都采用统一的Lagrange坐标系来描述，使其能很方便地处理运动边界的问题。

2 涡方法及其数值结果

3 结论

从数值模拟的结果来看，涡方法可以比较好的模拟运动边界条件下的流体机械问题。涡方法具有这样一些优点：

（1）边界条件通过假设涡层来处理，实际是一种物理建模，这种是一种解析的方式，计算中不会像许多算法一样随着雷诺数的增加对网格的要求迅速增加。

（2）对于物体个数不多的情况下，计算速度较快，处理运动边界问题比较自然。

（3）比较容易满足自由边界条件。

对于如何将涡方法应用于工程实际问题，还需要进一步的数值研究与实验研究相结合，我们相信用涡方法可以揭示很多以往比较难以解决的流体物理问题。

参考文献：

[1] Wu C H.A general through flow theory of fluid flow with subsonic or supersonic velocities in turbomachines of arbitrary hub and casing shapes.NACA paper，1951：2302.

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[4] Cottet G H.and Koumoutsakos P.Vortex Methods： Theory and Practice，Cambridge University Press，2000.

[5] Roshko A.NACA Tech.Note.No.2913，1953.

[6] Roshko A.NACA Rep.No.1191，1954.

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