感悟三角形角平分线和中线的概念

[问题与情境]

1. 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.

（1） 你能分别画出这 3 个三角形的 3 条角平分线吗？

（2） 你能用折纸的办法得到它们吗？

（3） 在每个三角形中，这 3 条角平分线之间有怎样的位置关系？

2. 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的 3 条中线，它们有怎样的位置关系？钝角三角形和直角三角形的 3 条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流.

结论：三角形的 3 条角平分线交于一点，3 条中线交于一点.

[开眼界]

中国近现代数学发展时期

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动. 较早出国学习数学的有：1903 年留日的冯祖荀，1908 年留美的郑之蕃，1910 年留美的胡明复和赵元任，1911 年留美的姜立夫，1912 年留法的何鲁，1913 年留日的陈建功和留比利时的熊庆来（1915 年转留法），1919 年留日的苏步青等人. 他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展作出重要贡献.20 世纪30 年代出国学习数学的还有江泽涵、陈省身、华罗庚、许宝等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量. 1935 年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席. 1936 年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展. 建国后的数学研究取得长足进步.20 世纪 50 年代初期就出版了华罗庚的《堆垒素数论》（1953）、苏步青的《射影曲线概论》（1954）、陈建功的《直角函数级数的和》（1954）和李俨的《中算史论丛》（5辑，1954～1955）等专著．到1966 年，共发表各种数学论文约 2 万余篇. 除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家.20 世纪 60 年代后期，中国的数学研究基本停止. 1970 年《数学学报》恢复出版，并创刊《数学的实践与认识》. 1973 年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就. 此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见. 1978 年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏. 1978 年恢复全国数学竞赛，1985 年中国开始参加国际奥林匹克数学竞赛. 1981 年陈景润等数学家获国家自然科学奖励. 1983 年国家首批授予18 名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占．1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀做了关于中国古代数学史的演讲.1985 年庆祝中国数学会成立 50 周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标，立志要不懈地努力，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国.

[经典例析]

例 1 如图1，在△ABC中，BD = CD，∠ABE = ∠CBE，BE 交 AD 于点 F，则：

（1） AD是三角形 的 线， 是△BCE 的中线；

（2） BE是三角形 的 线， 是△ABD 的角平分线.

解：（1） ABC 中 ED

（2） ABC 角平分 BF

依据三角形角平分线、中线的定义，由角相等、线段相等来确定哪条线段是角平分线和中线.要特别注意：三角形的角平分线、中线都是线段；一个三角形有 3 条角平分线和 3 条中线，且都在三角形内.

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠CDB的度数.

解：因为∠C=90°，所以∠CBA+∠A=90°.又因为∠ABC=2∠A，所以∠A=30°，∠CBA=60°.又因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD=∠CBA=30°.而∠CBD+∠CDB=90°，所以∠CDB=60°􀆰

利用三角形角平分线平分三角形一个内角的特点，并结合直角三角形两锐角互余，求得△ABC各内角的度数，从而求出∠CDB的度数.

例3 如图3，在△ABC中，AB = AC，AD是中线，△ABC的周长为28 ，BD = 6，求AB的长.

解：因为AD是中线，所以BC = 2BD􀆰

因为BD = 6，所以BC = 2 × 6 = 12􀆰

因为△ABC 的周长为 28，即AB + AC + BC = 28，所以AB + AC = 16 􀆰

因为AB = AC，所以AB = 16 ×= 8􀆰

利用三角形中线平分三角形一边的特点求得BC的长，从而利用已知条件△ABC 的周长为28，求得AB 的长􀆰

[即学即练]

1􀆰 如图4，∠1 = ∠2，则AD是△ABC的角平分线的有（）．

A􀆰 1个B􀆰 2个C􀆰 3个D􀆰 4个

2􀆰 下列说法中，正确的是（）．

A􀆰 三角线的角平分线和角的平分线没有区别

B􀆰 钝角三角形的 3 条中线不交于一点

C􀆰 任何三角形都有 3 条中线，且一定交于一点

D􀆰 以上说法都不对

3􀆰 在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的角平分线交于点D，则∠BDC等于（）．

A􀆰 65°B􀆰 130°C􀆰 115°D􀆰 100°

4􀆰 如图5，△ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A=50°，那么∠D =

5􀆰 角的平分线是一条 ，三角形的角平分线是一条

6􀆰 如图6，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△CDE的面积为 1，那么△ABC的面积为 􀆰

7􀆰 如图7，△ABC的周长为 9，AD为中线，△ABD的周长为 8，△ACD的周长为 7，求AD的长􀆰

8􀆰 如图8，某校生物兴趣小组有一块三角形的实验田，现对某种作物的 4 个品种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的4块，请你设计两种不同的划分方案供选择（画图说明）􀆰

[中考风向标]

1􀆰 （2006年·广东）如图9，在△ABC中，AC = BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC = ∠CAD，则∠B = 􀆰

2􀆰 （2006年·绵阳市）已知△ABC．（1）如图10（1），若 P 点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠P = 90° + ∠A；（2）如图10（2），若P点是∠ABC和外角∠ACE角平分线的交点，则∠P = 90° - ∠A；（3）如图10（3），若 P 点是外角∠CBF 和 ∠BCE的角平分线的交点，则∠P = 90° - ∠A􀆰

上述说法正确的个数是（）．

A􀆰 0B􀆰 1C􀆰 2D􀆰 3

参考答案：

1􀆰 36°2􀆰 C

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