让数学造福祖国

严士健教授1952年毕业于北京师范大学数学系，先后从事数论、代数及概率论的研究和教学工作，是我国著名的数学家和数学教育家，曾任中国数学会副理事长兼教育工作委员会主任。上世纪90年代起，严先生开始研究我国的中小学数学教育，1998年以来，先后担任教育部《全日制义务教育数学课程标准》顾问、《普通高中数学课程标准》研制组组长，指导了一系列教学改革活动，为我国的数学教育改革提出了许多有益的建议。

赵：您作为数学家，热心中小学数学教育研究，为本世纪第一轮数学教育改革贡献智慧，我们作为数学教育工作者都很敬仰您。最近，我认真阅读了您的新作《严士健谈数学教育》，对您有关数学教育的许多观点和想法有了更多的了解。回首这十年的改革，您觉得我们应该用什么样的态度对待现今的数学教育改革？

严：《严士健谈数学教育》是科学素养大家谈丛书系列中的一本，书中内容有的是以前开会的报告，有的是在杂志上发表过的文章。书中谈及的数学教育改革的想法和看法不一定系统、全面。但总的说来，我觉得数学教育改革注定是一项长期的任务，十年或许还只是刚刚开始，作为改革的推动者、科研人员、一线教师，我们都不能太急，太急可能欲速则不达，历史上有不少这样的例证。在改革的过程中，应该敞开思想、深入细致，步子应该稳妥，长期坚持。这样下去，才可以取得很好的成效，达到预期的改革目的。

赵：您经常强调数学教育要做到让数学融入我国的文化传统，增强人们的数学意识。您所谈的数学融入我国文化传统意味着什么？在这方面我们要努力的方向是什么？

严：我国的文化传统是世界四大古代文明之一的中华文明发展而来的，而且是唯一没有中断而传承至今的，所以它是非常优秀的，足以让我们引以自豪，应该继续继承和发扬。但是我国古代社会和文化传统也有不足之处，其一就是对数学重视不够，只把它看做是一种计算方法和实用技术，也没有与其他学科联系。所以，我国古代数学虽然有突出成就和优良的算法，但是发展到一定阶段以后，没有抓住其中一些理论性的基本问题进行深入探讨，没有上升到逻辑体系。因为没有形成逻辑体系，条理不很清楚，所以比较难理解、难学。祖冲之《缀术》的失传，就是一个例子。其二，没有像古希腊那样用数学研究自然界的规律，形成一些类似或近似于现代的自然科学著作。我国近代数学和数学教育是在鸦片战争挨打以后从国外引进来的，开始时是学习西方的机械学中常用的一些数学知识，如初等数学、微积分之类的知识。到了20世纪前期，有很好的发展并取得相当的成就。但是由于社会条件以及处于发展初创阶段，只限于数学本身的研究，受当时国际上流行的公理化、形式化主义的影响较大，没有来得及关注数学的应用以及思维对社会发展的重大作用，以致除了数学的通常应用和一般地谈论逻辑训练作用以外，数学没有真正融入我们的文化传统，人们的数学意识还比较淡薄，对数学在社会发展过程中的基本作用的认识很肤浅。

在西方，数学是伴随着社会和生产的发展同步进行的。古希腊时期，像毕达哥拉斯、雅典的诡辩学派以及柏拉图都十分重视数学以及数学对认识世界的作用。特别是文艺复兴以后，有笛卡尔、斯宾诺莎开拓的用数学的形式结构和严格的方法作为引导哲学思考模式的数理主义。工业革命以来，数学家都积极参与科学变革以及从各种自然现象和工业发展中提出并解决基本数学问题，形成了近代数学（当时没有纯粹数学、应用数学之分），数学受到广泛应用，同时数学家也受到广泛尊重。数学成为西方文化传统的固有组成部分，数学意识牢固地存在于人们的意识之中。

我国和西方在文化传统的根本出发点、基本思维方式上是不同的，数学是关键点之一，其结果不仅影响科学、技术的发展以及对创新性的正确认识，甚至对整个民族的普遍素质都有影响。因此，为了我国的现代化和民族的振兴，急切地需要在我国优秀文化传统的基础上，让数学融入中国文化传统。这是一项极为重要、伟大而又长期的艰巨任务，需要我们大家为此进行长期的坚持不懈的努力。

赵：我从您的著作中看到，您作为数学家，对数学在人类思想发展中的重要作用有独到的认识。这方面的认识对数学教师认识数学，避免单纯地教学生做数学题目与应付考试，非常重要。您能否简要地给我们谈谈数学对人类思想发展的作用到底体现在哪些方面？

严：数学思想对人类思想的作用很大，以数学公理化思想为例可以作一点说明。公理化思想是对一些在实践或理论中得到的零散的、不系统的知识和方法进行分析，归纳出一些不证自明的前提，从这些前提出发，进行逻辑地演绎，以形成严密的和完整的知识体系。古希腊欧几里得建立严密的几何公理体系的过程就是这种思想的体现。现代分析数学的体系也经历了这样的过程，从牛顿不太严密的微积分，经过欧拉等一大批伟大的数学家发现了分析数学丰富的结论和方法，然后在19至20世纪之交归纳出实数的连续性，在这个基础上将所有发现的丰富结论、方法用演绎的方法构建成一个严密的、逻辑的数学分析体系。这种归纳与演绎相结合的思维模式不仅对数学的发展，而且对科学的发展和人类思想的进步都起到了重要的作用。西方的科学家和思想家受这种思维模式的影响，常常以它来思考和研究科学、社会、经济以及政治问题。例如，牛顿从他归纳出的著名三大定律出发，演绎出经典力学系统；美国的《独立宣言》也是试图借助公理化的模式使人们对其主张深信不疑；马克思从商品和剩余价值出发，演绎出资本主义经济发展的过程和重要结论。这些以及很多学科的建立都受到了公理化思想的影响。

赵：数学对人类思想发展的影响是数学价值的一个部分，数学对推动人类进步与社会发展，形成人类理性思维，促进个人发展诸多方面都有重要的作用，数学老师要如何认识数学的价值，数学教育中怎么让学生感悟数学的价值呢？

严：数学的价值是多方面的，一是刚才谈到的数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响。二是数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言。近代，数学的发展与科技革命紧密结合在一起，数学成为物理、力学、天文、化学、生物等科学的基础。现代，数学与计算机结合形成数学技术，成了许多高科技的核心，数学在经济、财政和金融等社会活动中也有重要的意义，生命科学、材料科学、信息科学技术也要运用数学。三是纯粹数学的重要价值也不容忽视。例如，计算机这一伟大发现是以数学家建立的看似与计算机毫不相关的数理逻辑学科为基础的，爱因斯坦广义相对论是借黎曼几何这个数学工具完成的，而黎曼几何却是源于对欧几里得第五公设2000多年的讨论产生的非欧几何，五次及五次以上代数方程根式解的研究导致了群论这一重要数学分支的诞生。这些都是很好的例证。

数学教育应努力全面体现数学的价值。教师要向学生提供参与社会生活与建设必要的数学基础知识和基本技能以及严格的技能训练；帮助学生体会数学的基本思想，向学生提供思维工具，让学生表达清晰，思考有条理；进一步向学生展示数学对于社会发展的多方面的作用，让他们认识到数学在人类社会发展中独特而重要的作用，使学生具有实事求是的态度和锲而不舍的精神，具有应用意识和创新意识；向学生提供提出问题、思考问题、解决问题的机会，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

赵：人们常说“数学是思维的体操”，我们应该如何全面准确领会这句话，在数学教学中如何科学培养学生的数学思维？

严：数学在培养思维能力方面具有不可替代的作用。以往中学教学大纲中提出“培养逻辑思维能力”，通常理解为培养形式逻辑的思维能力。老师通过日常的数学教学，要求学生在做题时严格论证、计算准确，学生也慢慢形成了逻辑思维的习惯和能力，这些是完全必要的。但是只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的，甚至会产生负作用，有时会形成过分拘谨、思想呆板的习惯。事实上，人们要真正学懂数学，除了经常用到形式逻辑思维以外，还需要经历从具体现象到数学概念、符号的抽象（即归纳）过程。实际上，凡是运用数学解决问题时，都是先从问题的直观或具体层面得到某种想法（归纳）然后实现证明。这种归纳过程与上面所说的培养严密逻辑论证过程相结合，可以说是归纳与演绎相结合的思维方式，这是数学思维方式的本质。在数学教学中，除了培养学生的数学基本知识与技能以外，应该十分重视培养这种数学思维能力。培养这种数学的思维能力，会促使学生扎实地掌握数学。此外，这种思维能力对于学生处理日常生活以至将来的工作或研究时，会大大提高他们的工作水平，使他们既不会在思维方式上犯浮夸和刻板的毛病，又能准确地抓住事物的本质，得出符合实际的有创见的看法。

赵：您曾经指出，我国中小学数学教学中的“烧中段”现象比较严重，克服这种现象要怎么努力？

严：我的老师傅种孙先生有一句名言，他说：“中学数学教学本来就是‘烧中段’的。”这是一句描述我国以往数学教育状况的大实话。所谓“烧中段”，就是指只教授数学的知识和技能。现在回想起来，在当时“烧中段”没错，毛病出在不能总是停留在只“烧中段”的历史阶段。我个人认为，从历史发展的角度看，“烧中段”反映了我国引进现代数学教育的一个阶段，有它的必然性，而且在数学教育发展上有它的贡献，它使我国正确地学会了近代数学。我曾在一次课程改革讨论中提出，不仅要“烧中段”，而且要注意内容的来龙去脉。数学有一个特性：先从具体情形上升为一般的概念和结论，又从一般结论返回到具体情形加以印证和应用。因此，在数学教育工作中，需要学生理解问题是怎样提出的，概念是如何形成的，结论是怎样探索和猜测到的，以及证明思路和计算的想法是怎样形成的；在有了结论以后，还应该理解结论的作用和意义。也就是说，让学生理解来龙去脉，掌握数学思想方法，知道有关发展和学术见解。只有这样，学生才能真正理解数学，才能比较自如地应用所学的数学知识。

这里，我想应该谈一谈“烧中段”与“来龙去脉”的关系。在中学数学教学中，学生“烧中段”是基础，需要花足够的时间去完成它，但是不知道“来龙去脉”，则所学内容是干枯而没有生气的。反之，过多地谈论“来龙去脉”而没有足够的时间去“烧中段”，则会流于夸夸其谈、空洞无物。还有一点值得指出的是，有些经典结果的证明或计算，经过几乎无数次的改进和调整，已经成为人类的常用套路，其思路和想法已经不易讲清楚，似乎也不必花过多的精力去追求。

赵：记得多年以前，您提出数学教育要重视数学应用，高考要考应用题。这一建议得到社会的认可和高考命题部门的采纳。现在高考应用题得到加强，中小学课程改革也注意让学生联系现实学习数学，但要广大的数学教师树立数学的应用意识，在教学中恰当地体现，还是一件艰难的事情，所以还要请您给我们说说认识数学应用价值的意义，对教学中如何增强应用意识提出建议。

严：1992年，我主持的中国数学学会教育工作委员会进行了一次讨论，提出了“关于中小学数学教育改革的若干建议”，其中一个重要的观点是强调数学的应用。那年年底，我和张奠宙、苏式冬两位教授共同提议，在高考题中出一些应用题。考试中心接受了，于是后来高考试卷中有了许多应用题。

现代社会，随着很多高技术产品的产生，计算机的普及和推广，数学应用的范畴和深度空前地扩展。充分发挥数学的作用将大大加快社会现代化的速度。这就需要更多的人具有应用数学解决实际问题的能力，但是真正应用数学解决比较专业问题的毕竟不占多数，而需要数学解决实际问题的人则可能占多数。因此应当帮助广大接受数学教育的人树立数学的应用意识——相信和知道数学有用，并且热衷用数学解决实际问题。

应用意识的重要性也可以从技术发达的国家得到借鉴，他们的经理、军事家和政治家未必比我国相应人员的数学水平高，但是在经营和管理方面对数学的应用意识却较强。所以，只要人们，特别是有关主管人员有了应用意识，他们一旦遇到有关实际问题时，就会自觉地想到找数学帮忙。

为了培养学生的应用意识，需要让学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练，同时也要了解数学的广泛应用的事例和情况，不要让增强数学应用意识成为空洞的说教。

在这里，我还想谈一谈在基础数学教育中加强数学应用教育内容的研究和积累问题。上面谈到现代社会的数学应用面非常广泛，内容丰富而深刻，绝大部分不可能进入中学教材，甚至介绍也并非易事。因此在教学内容（包括建模、综合实践）中，选、编（包括简化）一些既能引起学生兴趣，又能让他们理解，教学时间占用不多，且有比较重要意义的例子便是一项并不轻松的工作。通俗而切实地介绍一些不能进入教材，但又有意义的应用领域，如航天。这就需要数学教育工作者和一线教师的长期研究和积累。只有在我们的教学内容中有一批这样精彩的例子和介绍，才有可能帮助学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练。

赵：应用数学解决实际问题的第一步是从实际问题的具体情形出发，经过分析归纳，提出恰当的数学问题，建立数学模型。数学课程改革和教学中怎样对待数学建模，提高学生的数学建模能力呢？

严：数学有时被称作模式的科学，建模作为发展数学的一个开始步骤自古有之。Euclid的几何公设可以认为是早期的数学模型。当代数学中，建模地位更加突出，因为有了正确的模型并加以研究后，就可以作出各种推断，可以提炼问题的本质，可以解释其中的构造，也可以与计算机技术结合给出所需要的数值解，达到各种应用的目的。另一方面，数学的应用越来越广泛，数学所研究的问题更多的来自实际，模型最能表达问题的本质，将实际的无序状态转换成明确的数学问题，对数学本身也起着更本质的作用。因此，在数学教学中，建模的初步训练应该成为重要的教学内容。

建模教学选择的问题最好是具体实际问题，在教学中最值得关注的是要帮助学生亲自了解问题的实际状况，准确分析出问题所具有的条件和所要求的结论，并将它们转换成数学的语言，形成数学问题加以解决。如果所形成的问题过于复杂，可以适当简化问题的条件或忽略次要的条件，形成一个运用所学知识可以解决的问题，此时要注意简化后的问题解答能满足需要。实际上，一次建模的过程（包括形成问题和解决）就是归纳与演绎相结合的思维方式的一次具体运用，也是一次大型数学作业。

赵：您主编的湘教版初中数学教材通过教育部审定后，在湖南省广泛使用，并在实验中收到良好效果。这套教材有效地落实了课标的要求，也体现了您的改革理念，请问这套教材的主要特点体现在哪些方面？

严：编写好中学数学教材是使改革理念落到实处最重要的一环。十年来，我和丘维声教授以及湖南数学教育界的同仁们一起编写这套教材，确实动了不少脑筋。这套教材重视选取一些程度适合的有趣而且看来较有意义的例子作为课文内容、习题或阅读材料，也注意贴近生活和应用，举了一些能应用到日常生活的例子，为的是让学生相信数学在很多方面是有用的，培养他们的数学应用意识。当然，也没有忽视数学基础知识和技能的学习，我国传统“双基”教育的强项，在这套教材中继续得到发扬。同时，教材注意利用栏目进行教学方法和学习方式的引导。另外，为了克服为应付考试，将习题按题型划分得很细，让学生大量机械地模仿做题，不分析也不反思的做法，教材中注意选择更具广泛性与可用性的例题和习题，包括一些开放性问题。当然，教材中还介绍了一些突出的历史范例、史实以及有关的阅读材料。

赵：您是数学家华罗庚先生的研究生，深受华先生的影响，华罗庚先生也是数学教育家，有丰富的教育思想，您能给我们谈谈华先生给您的最大影响吗？

严：20世纪50年代，我有幸在华罗庚先生的指导下学习数论。华先生对我比较大的影响之一是“书由薄读到厚、再由厚读到薄”的读书法。华先生提倡在读数学书时先要把书中那些“显而易见”“可以证明”“经过计算可以得到”等略掉之处都补出来，将书中的细节都弄清楚，这是将书“读厚”。然后是在读完一章或一本书以后，应该总结反思。弄清这本书的问题是怎样提出来的、已经解决到什么程度、在解决问题的过程中提出了哪些概念和方法。这样也就将书“读薄”了。他还说过，每读一本新书，其中对自己全新的内容通常并不多，关键是要把那些新内容“加”到自己原有的知识中去，形成自己的体系。我觉得，这不就是现今提出的所谓建构主义教育观吗？

回想起来，华先生的许多教育观念是非常科学的。我听他讲授《数论导引》，一个显著特点是让听讲者能够随着他一起想问题，一起分析和解决问题。他总是先将一些容易的、表面的内容弄清楚，然后随着问题的展开而引入必要的概念，尽快接触问题的本质和核心，用华先生的说法是“单刀直入，直逼问题”；然后分析问题的关键所在，提出新的方法，使整个问题迎刃而解。还有就是从课程内容出发，及时提出值得深入思考、甚至值得研究的课题。我最初关于可换环上线性群的研究成果就是这样发展和形成的。这种以“问题”驱动的教学理念，与按照书本上演绎方式、照本宣科地讲授方式完全不同。

华先生高瞻远瞩，能够根据数学当时的发展提出一些发展的方向，几十年后的今天看来，有些可以说是预测到数学后来发展的重要方向。华先生关注数学发展，力争走在前沿的治学精神，应该是我们学习和研究数学、数学教育乃至任何科学的榜样。他告诉我们，只有能够深切了解数学真谛的教师，才能对数学教育做出重大贡献和培养出大批有用人才，才能成为数学教育家。

赵：谢谢您给我们的指导。