数学建模能力的培养

摘要：现实生活处处存在数学建模，数学建模离不开现实生活。“开展数学建模活动”的重心已从大学转移到了中学，并已成为中学教学中的热点问题。旨在探讨数学建模的基本思路和方法，就学生数学建模能力的培养方法与途径提出了一套基本程序，并用实例加以阐释，具有较强的针对性和可操作性。

关键词：数学建模；模型建立；求解；分析；检验；应用

一、学习数学建模的意义和数学的社会需求

随着人类的进步，科技的发展和社会的进步日趋数字化，“数学已无处不在”“数学就等于机会”的时代已经到来，数学应用越来越广泛，越来越受到重视，数学模型（Mathematical Mondel）和数学建模（Mathematical Modeling）这两个词的使用频率越来越高，可以这样说，现实生活处处存在数学建模，数学建模离不开现实生活。因为数学建模的最终目的是服务于生产劳动和生活，解决实际问题。

当今，“开展数学建模活动”的重心已从大学转移到了中学，并已成为中学教学中的热点问题，从高考数学命题来看：1993年有贺卡分配、灯光照明、商品抽样、游泳池造价等问题；1994年有细胞分裂、任务分配、物理测量等问题；1995年有淡水鱼养殖的问题；1996年有耕地粮食的问题；1997年有运输成本问题；1998年有环保设备问题；1999年有轧钢问题等等。其中应用问题的演变趋势有两个特点：一是应用题正由小题向大题，进而向大小题相结合转化；二是由简单的直接应用向实际问题数学模型化转变。通过建立适当的数学模型，达到解决实际问题的目的。那么，怎样把现实生活中的问题用数学建模的办法来解决呢？一般来讲，生活中的数学建模有如下几个步骤。

模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的意见。

二、数学建模的基本思路和方法

1.模型假设。

2.模型建立。在假设的基础上，对问题进行数学形式的抽象，利用适当的数学语言来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

3.模型求解。利用获取的数据资料对模型中所有参数做出计算。

4.模型分析。对所得的结果进行数学上的分析。

5.模型检验。将模型分析结果在实际情形中进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要给出计算结果的实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应修改假设再次重复建模过程。

6.模型应用。模型的应用和适用范围因问题的性质和建模的目的而异。

下面以2001年高考文科第21题为例，具体阐述生活中的数学建模问题。

题目：某蔬菜基地种植西红柿，由历年时令得知，从二月一日开始的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/百千克，时间单位：天）

综上所述：从二月一日开始的第50天时上市的西红柿纯收益最大。

这道题把日常生活中极普遍的种植、上市、销售、利润、物件诸因素融入“西红柿”中，情境贴近生活，通过图象给出各元素关系，形象具体、深刻，既有生活又含生产；既有种植又有销售；既有支出（成本）又有收入（利润）。所有元素数据，相关联系信息，都是用图象给出。这些符合实际的数据，描绘出两条经验曲线，考生需从图象中“读”所需数据，建立函数关系式，去寻求最佳方案。由此可知，成功的“数学建模”离不开对现实生活中发生的现象进行模拟体验和细致的观察、认真的记录，运用数学的方法对材料进行加工分析，大胆地猜想和不断地提出问题，并加以严密的论证，再回到实际生活中去接受检验，不断地修正和完善，从而得出具有较高精度和一定指导价值的结论等重要环节，由此可以看出实践性是第一的。2月1日起刚上市的西红柿每千克的市场价较高，但收益并不理想，原因是此时的成本也较高。由图1和图2分析得到：天气冷时，蔬菜基地靠大棚作业，种植成本相应提高；随着时间推移，季节变化，天气逐渐变暖，种植成本下降，市场售价也降低；影响因素远不止于此。针对这个普遍存在的现实生活问题，通过构建数学模型，运用数学基础知识得到：“从2月1日起第50天上市的西红柿获利最大”的结论，结论是现实的，对某地区的菜农也是有积极指导意义的。

三、学生数学建模能力的培养方法与途径

培养和提高学生的数学建模能力，一般来讲，可按以下基本程序进行。

1.课堂，即课内先让学生掌握数学建模的有关理论性知识，再通过教师对一些实例的讲解、分析，让学生了解数学建模的过程和方法，以及怎样利用数学建模来解决实际问题。

2.课外，即学生可利用放学回家的路上，或在节假日深入工厂、农村、机关、超市等场所进行调查研究，取得一定素材和数据，然后对那些较典型的素材进行分析，并结合自己所掌握的有关数学常识建立一个数学模型。

3.回到课堂，即教师对学生中较典型的数学建模进行剖析，并让学生相互交流数学建模心得，做到取长补短，共同提高。

4.再回到课外，即继续深入生活，对自己所建立的数学模型进行反复修正，直至接近于现实。

总之，学生数学建模能力的培养方法和途径是“学习—实践—再学习—再实践”的过程。

第一学期，在讲完“函数的应用”一节之后，我布置了这样一个作业：要求学生根据自己的生活体验，针对自己了解的某个问题，建立一个函数模型。第二节课，我先检查作业，发现大部分学生能基本达到要求，而且有几个学生的作业完成得比较好。如，“服装销售单价与营利大小”的问题，“某品牌的洗发水单价与包装重量”的问题，“城市打的付费”的问题等等。其中，“城市打的付费问题”是较典型的一个例子。

题目：某市现行的打的付费标准是起价8元，三公里后开始跳表1.6元/公里，另外10公里以上需加30%的返程费。

（1）写出打的费用与路程的函数关系；

（2）当路程为x=11公里时，乘客应付费多少元？

有位学生是这样解的。

接下来，我让同学们相互交流各自的作业，然后比较、讨论、修改，这时另外一个学生看了他的作业之后，向他提出了这样的问题：11公里的路程，如果我分两辆的士乘坐，结果又会怎样呢？这个问题提出得太好了，他听了之后，似乎马上意识到了自己的疏忽。最后，经过几个同学一起讨论、修改、又得到了另外一种解答方案。

解：若按乘坐两辆的士到达目的地，设乘坐第一台所走的路程为x1，乘坐第二台所走的路程为x2，则x1+x2=11，设n≤x1

通过比较两种计算结果，他们还发现，对于11公里的路程，分乘两辆的士到达目的地要少付费3.04元。

当然，这个问题，同学们还可以继续深入探讨：对于多少公里的路程，分乘两辆的士到达目的地，比单乘一辆的士到达目的地付费要少呢？

在学习数学建模的过程中，同样要发挥学生的主体作用和教师的主导作用，从生活中来，到生活中去，构建学生的生活情境，植根于生活，从易到难，使学生有成功的体验，从而激发学生对数学建模的学习兴趣。

综上所述，通过数学建模的教学，能够提高学生运用知识解决实际问题的能力，它有助于学生综合经营素质的提高，有助于其他学科的学习与综合运用知识的能力的提高，并能培养学生关心社会的人文精神。因此，数学建模的教学是当前乃至今后数学教学的目的和总要求。

以上赘述只是本人的一点浅见。还是姜伯驹院士概括得好：“数学已从幕后走到台前，直接为社会创造价值。”作为新世纪的数学教师，更应该清楚，课堂上，我们需要将什么教给学生，将什么不教给学生，而让学生自己去发现。

最后衷心地祝愿：“数学建模能够开创我们生活的一片美丽的天空。”

（作者单位 广东省深圳市沙井职业高级中学）