高中函数解题过程思维活动呈现的研究

摘要：众所周知，函数解题部分是教学中的重中之重。教师只有将函数解题的原始思维活动还原给学生，让学生对比自己的思维过程，从而发现错误点和不足之处，并能为学生解题树立一个正确的榜样。不仅展现思路、展现解题过程，最重要的是展现思路的寻找过程[1]，这样才能探索知识的形成过程，培养学生的思维能力。本文基于波利亚的怎样解题四个步骤，给出相关习题的每一步原始思维呈现过程，以达到提高学生函数解题正确率的目的。

关键词：思维活动；函数；解题教学；波利亚

引言：函数解题部分是高中数学的核心内容，同时也是高中阶段的重难点所在。然而通过调查我们得知，教师在解题教学中往往只重视结果而忽略过程，未能充分引导学生真正经历审题、寻找解题突破口等思维流程[2]，导致学生函数解题的情况不尽人意。对于数学来说，教学实际上就是思维活动的教学，教师只有将解题的原始思维活动清晰呈现，才能使学生深刻理解，进而达到提高解题效果的目的。因此，对于高中函数解题呈现思维活动进行进一步的探究，具有重大的意义。

1 解题步骤阐述

波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤：（1）弄清问题，即审题。借助画图、表格、已知符号等区分清已知条件和未知条件。（2）拟定计划，即进行联系与转化，找出已知数与未知数之间的联系，从而形成解题的初步思路。（3）实现计划，（4）回顾反思，即回顾解题的过程，进行检验与反思[3]。

本文基于波利亚的怎样解题四个步骤，对每一个步骤给出原始思维展开的相关习题解题教学的建议。

2 函数解题过程中思维活动的展示

2.1 弄清问题

波利亚表明，弄清问题就等于问题解决了一半，可见，审题作为解题的第一步，是至关重要的。通过问卷调查我们得出，有34%的同学表示不知道如何进行有效的审题。因此，教师需将审题过程中的原始思维展现给学生，让学生对比自己的思维方式，这样不仅能纠正错误的思维方式，还为学生做出了正确的审题榜样，同时掌握审题的方法技巧。

因此，本题采用分类讨论方法。

第一步，分析已知条件和所求量；第二步，画出图像；第三步，区分各个条件之间的关系，即区间与函数对称轴之间的关系，画图后发现，有三种不同的位置关系，因此需要采用分类讨论方法。

通过这样的分析，教师将审题过程的原始思维活动完全呈现给学生，让学生彻底明白了题目蕴含的意思，并且为解题过程选择了适当的方法。审题过程中思维活动的呈现，主要是教会学生，为什么这样做？做题方法是如何得到的？

2.2 拟定计划

拟定计划过程可以使解题变得有条理性，为正确的解题做铺垫。通过调查我们得知，有86%的同学在拟定解题计划的过程中出现问题，例如部分学生不能灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法，导致不知从何下笔。因此，教师可以将拟定计划过程中的思维活动呈现给学生，让学生在观察对比中进步，从而找到易错点与解题突破口。

（2）化简得到1122（ ）4（）+4f xxf xx+≤，不等号两边出现相同的对应法则，因此联想到引入一个新函数（ ）（ ）4g xf xx=+，根据第一问单调性的结论，即证新函数（ ）g x单调即可。

第一步，审题，理清已知条件之间的关系；第二步，联想到解决问题最有效的手段，即知道单调性，可以运用导数判断。得出解决问题运用的数学思想方法，即导函数系数与参数a有关，因此得出运用思想方法为数形结合、分类讨论；第三步，如果问题不能直接解决，则转化为可以解决的问题，即将不等式进行化简，根据第一问单调性的结论，可以引入新函数（ ）g x，运用单调性解题。

通过这样的方法，教师让学生明白怎样采取合适的方法进行解题，让解题变得有条理性，找到解决问题的突破口，为正确解题打下基础。

2.3 实现计划

经过审题、拟定计划两个步骤，学生已经明白要怎样做，为什么这么做，接下来则要进行详细的解题过程。然而通过调查我们得到，尽管已经知道如何去做，仍然有71%的同学在解题过程中失分。因此，教师仍然需要将每一个步骤思维活动详细的呈现给学生，让学生学会书写正确的解题步骤。

令1，1xy=？=，得出（ 1）f？1=；同理，利用赋值法得出（6）6f=？

反思1：利用赋值法进行奇偶性的证明，运用了由特殊到一般的归纳推理，值得同学们学习和借鉴，然而单调性的证明也是利用两个特殊值对比而成，这个解题过程是否严密呢？

反思2：单调性的定义中强调，所取的值一定是定义域中任意的两个数，符合单调性的定义。经过以上的反思过程，提取了合理的成分，选择性接受了前面的解题方法，并且加以完善，于是得到了单调性正确的证法。

以上教师将反思原始思维呈现给学生，让学生自己的找到错误点，一步步得到正确的解法。

结语：

通过以上对解题四个步骤的讨论，我们得出，首先，教师要从思想上认识到将解题原始思维活动呈现给学生的重要性；其次，在解题过程的每一步中，教师都要有明确的思维展现过程[6]；最后，教师应进行适当的调整，以得到最有效的思维呈现方式。综上，教师只有将自己的原始思维活动呈现，让学生体验对比，找出自己思维的错误点和不足之处，从而使学生主动参与到思考过程中，形成自己的思维结果，才能够达到深刻理解、举一反三的目的，并且能在获得知识的同时培养学生解题思维的能力。

参考文献：

[1]黄和平. 展开思维活动在初中数学课堂教学活动中的实践[J]. 数学学习与研究， 2010（22）：22-22.

[2]杨建楠. 思维能力培养与高效数学课堂的关系[J]. 教学与管理， 2011（22）：47-48.

[3]张海燕. 高中函数解题教学的研究[D]. 湖南师范大学， 2012.

作者简介：

门桐宇（1996-），辽宁朝阳人，沈阳师范大学数学与系统科学学院2014级数学与应用数学专业学生。

文章為沈阳师范大学数学与系统科学学院项目“中学数学课堂思维活动呈现的研究”最终结题成果。