单调动力系统理论概述及应用

摘 要： 本文介绍了单调动力系统的两个主要性质：极限集二分性和拟收敛点的几乎处处性，并给出了在泛函微分方程中的一个应用。

关键词： 单调动力系统 极限集二分性 拟收敛

自从19世纪末Poincaré等人从经典力学和微分方程的定性理论的研究中提出“动力系统”这一概念以来，动力系统方法就成为研究微分方程的一个主要工具。动力系统的一个核心问题是轨线的渐近性态和拓扑结构，它包含两层含义，即轨线的极限集的构成及轨线趋近于它的方式。近几十年的非线性动力学研究成果表明，任何期望笼统的研究动力系统的渐近性态的想法似乎是不可取的，也是行不通的。因此，我们只能期望于研究某些系统具有哪些通有性质，最简单的情况是轨线被吸引到平衡点。哪些动力系统具有这种通有性质？由M.W.Hirsch和Hal Smith等人［2-6,8,9］发展起来的单调动力系统对此作了一个相当完美和成功的回答。本文简单介绍这方面的研究近况，并给出一个具体的例子加以说明。

一、定义及记号

定义1：令Y为带有正锥Y={y∈Y∶y≥0}的序Banach空间，?坌x，y∈Y。如果y-x∈Y，则记为x≤y；如果x≤y，且x≠y，则记为x＜y。如果序Banach空间Y的正锥Y有非空内部，即IntY≠Φ，称Y为强序Banach空间。?坌x，y∈Y，如果y-x∈IntY，则记为x?垲y。

定义2：映射Φ：R×X→X称为X上的半流，如果下面两条成立：

（a）Φ（x）=x，?坌x∈X；

（b）Φ（Φ（x））=Φ（x），t，s≥0，x∈X。

对于X上的半流Φ，?坌x∈X，记O（x）∶={Φ（x），t≥0}为x的轨道，ω（x）为x的正极限集，E为Φ的平衡点集合，即E={x∈X，Φ（x）=x，?坌t≥0}。如果x∈X，ω（x）?奂E，则称点x为拟收敛点；如果ω（x）=p∈E，则称x为收敛点。记X上所有拟收敛点集合为Q，X上所有收敛点集合为C。对于p∈E，记C（p）∶={x∈X，ω（x）={p}}表示以{p}为极限集的所有收敛点集合，则C=C（p）。

下面假设Φ为（强）序Banach空间上X的半流，我们给出一些概念。

定义3：称Φ为X上的单调半流，如果x≤y?圯Φ（x）≤Φ（y），?坌t≥0；称Φ为X上的强单调半流，如果x＜y?圯Φ（x）?垲Φ（y），?坌t＞0；称Φ为X上的SOP（strongly order-preserving）半流，如果Φ是单调半流，且?坌x＜y，存在x，y的邻域U，V，t≥0使得Φ（U）≤Φ（V），从而Φ（U）≤Φ（V），?坌t≥t。

二、一些简单性质及命题

命题1：（收敛准则）设Φ是X上的单调半流，x∈X有紧的轨道闭包，且存在T＞0使得Φ（x）≥x，则ω（x）为周期T的周期轨。进一步的，如果使得Φ（x）≥x成立的T为R的开集且非空，或者Φ是X上的SOP半流且Φ（x）＞x，则x∈C。

命题2：（极限集的无序性）设ω（z）为单调半流Φ的正极限集，则

（a）不存在x，y∈ω（z）,使得x?垲y；

（b）如果ω（z）是周期轨或者Φ是SOP的，则不存在x，y∈ω（z），使得x＜y。

下面我们假设Φ是序空间X上的SOP半流，且每条轨道都有紧的闭包。通过几个命题，我们给出SOP半流的极限集二分性原理。

命题3：（共极限原理）设x＜y，存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→p，则p∈E。

证明：选取x，y的邻域U，V，t＞0，使得Φ（U）≤Φ（V），令δ＞0足够小，使得{Φ（x）∶0≤s≤δ}?奂U，{Φ（y）∶0≤s≤δ}?奂V。则当t≤r，s≤t+δ时，有Φ（x）≤Φ（y）。因此（*）式——Φ（Φ（x））≤Φ（Φ（y））=Φ（y），对?坌s∈［t，t+δ］，足够大的k成立。

由于Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x）），其中r=s-t∈［0，δ］，则Φ（Φ（x））≤Φ（y）对足够大的k和r∈［0，δ］成立。

上式两边对k求极限，得到Φ（p）≤p，0≤r≤δ。

同理，在（*）式中将Φ（x）换成Φ（x），Φ（y）换成Φ（y），再对k求极限，得到p≤Φ（p），0≤r≤δ。所以Φ（p）=p，0≤r≤δ，故p∈E。

命题4：（相交原理）设x＜y，则ω（x）∩ω（y）?奂E。如果p∈ω（x）∩ω（y），t→∞，则Φ（x）→p当且仅当Φ（y）→p。

证明：设p∈ω（x）∩ω（y），则存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→q∈ω（x），由单调性知p≤q。如果p＜q，由于p，q∈ω（y），则由命题2知矛盾，所以p=q。再由命题3知p∈E。

命题5：（吸收原理）设u，v∈X，?埚x∈ω（u）使得x＜ω（v）（ω（v）＜x），则ω（u）＜ω（v）（ω（v）＜ω（u））。

证明：不妨设x＜ω（v），则存在x，ω（v）的邻域U，V，t＞0，使得r≥t?圯Φ（U）≤Φ（V）。由ω（v）的不变性知Φ（U）≤ω（v）。

由于x∈ω（u），存在t＞0，使得Φ（u）∈U。则由ω（v）的不变性和单调性知Φ（u）≤ω（v）对?坌s≥0成立，从而ω（u）≤ω（v）。

下证ω（u）∩ω（v）=Φ。否则的话?埚z∈ω（u）∩ω（v），由极限集的无序性知ω（u）=ω（v）={z}，矛盾。所以ω（u）＜ω（v），命题得证。

命题6：（分离原理）设x＜y，存在t→∞使得Φ（x）→p，Φ（y）→q，如果p＜q，则ω（x）＜ω（y）。

下面我们给出SOP半流极限集的一个特征。

定理1：（极限集二分性）设x＜y，则（a）ω（x）＜ω（y）；（b）ω（x）=ω（y）?奂E。且若?埚{t}，t→∞，使得Φ（x）→p当且仅当Φ（y）→p。

证明：如果ω（x）=ω（y），则由相交原理知（b）成立。如果ω（x）≠ω（y），不妨设存在q∈ω（y）\ω（x）（另一方面亦证）。则存在{t}，t→∞，使得Φ（y）→q，而且Φ（x）→p∈ω（x）（如有必要取{t}的子列）。由单调性知p≤q，再由q?埸ω（x）知p＜q。所以由分离原理知ω（x）＜ω（y），命题得证。

下面我们再给出两个相关定义，并由此给出SOP半流的拟收敛点稠密的性质。

定义4：A为序空间X的子集，称L∶={x∈X∶x≤A}（可能为空集）为A的下界，如果u∈L，L≤u，则称u为A的下确界，记为u∶=infA。同样有上确界的定义。

定义5：点x∈X称为下（上）方两次可达，如果对x的任意邻域U，存在f，g使得f＜g＜x（x＜f＜g）成立。

引理1：设x∈X＼Q，a=infω（x），如果x下方两次可达，则ω（a）={p}，p＜ω（x）且x∈。

证明：固定x的任意邻域M，由ω（x）的无序性知a＜ω（x）。由ω（x）的不变性知Φ（a）≤ω（x），所以Φ（a）≤a，则由收敛准则（命题1）知ω（a）={p}，且p≤a。

由于p≤ω（x），存在ω（x）的邻域N，s≥0，使得p≤ΦN，对?坌t≥s成立。

取r≥0，使得Φ（x）∈N，对?坌t≥r成立。则t≥r+s当时，有p≤Φ（x）。

令V∶=（Φ）（N）∩M，则V为x的邻域，V?奂M，且有P≤ΦV，t≥r+2s。

所以u∈V?圯p≤ω（u） （1）

假设x下方两次可达，取y，y∈V，且y＜y＜x，由二分性原理知ω（y）＜ω（x）。

因为ω（x）?埭E，由SOP半流的性质知存在y的邻域U?奂V，t＞0，有Φu≤Φy，?坌u∈U。

由二分性知ω（u）=ω（y）或者ω（u）＜ω（y），因此由ω（y）＜ω（x），有?坌u∈U，ω（u）＜ω（x）。

所以ω（u）≤ω（a）={p} （2）

由（1），（2）知U?奂C（p）∩M，命题得证。

假设SOP半流除了满足每条轨道都有紧的闭包外，还满足下面条件：

（L）：X的每个极限集ω（x）有下确界，所有下方两次可达的点集内部在X中稠密，或者X的每个极限集ω（x）有上确界，所有上方两次可达的点集内部在X中稠密，两者成立其一。

定理2：设Φ为X上的SOP半流，每条轨道有紧的闭包，满足条件（L），则X＼Q?奂，且IntQ稠密。

证明：假设Φ满足（L）的第一个条件，另一同样证明。记X为所有下方两次可达的点集内部，由引理1知，X?奂Q∪?奂Q∪，所以开集X＼?奂Q。由于集合A是开集当且仅当IntA=A，因此X＼?奂IntQ，所以X＼=Φ。

故X?奂，从而X=X?奂，所以=X，命题得证。

三、简单应用

单调动力系统的许多结果可以用来解释常微分方程和泛函微分方程中轨线的渐进行为，下面我们举一例加以说明。

考虑滞后微分方程

x′（t）=f（x（t）），x（t-τ） （3）

其中f∶R×R→R，C连续，满足f（x，y）＞0（4）

选取相空间X∶=C（［-τ，0］，R），其中的序关系为逐点的意义。

给定?准∈X，假设（3）满足初值条件x（s）=?准（s），s∈［-τ，0］的解局部上存在且唯一。

定理3：假设f满足条件（4），且初值问题的解有界，则方程（3）的所有解都是收敛的。

证明：由条件（4）知解半流是SOP的（Smith［７］），由于初值问题的解有界，所以所有的轨线有紧的闭包。易知在相空间X∶=C（［-τ，0］，R）中条件（L）成立，由定理2知=X。

因为方程（3）的平衡点解E是完全有序的，由极限集的无序性知Q?奂C，从而定理得证。

四、结语

单调动力系统理论是单调方法与动力系统观点相结合的产物，其丰富的结果已经应用到常微分方程，泛函微分方程，抛物型微分方程，以及偏泛函微分方程当中。由于泛函微分方程，抛物型微分方程，以及偏泛函微分方程本身的复杂性，这方面的应用有一定的限制。我们可以通过适当选取这些问题的相空间，以及推广单调动力系统（比如伪单调动力系统，Wu［１］），得到某些相应的结论。

参考文献：

［1］J.R.Haddock，M.N.Nkashama，J.Wu.Asymptotic constancy for pseudo monotone dynamical systems on function spaces［J］.J.Diff.Eqns.，1992，（100）：292-311.

［2］M.W.Hirsch.Systems of differential equations which are competitive or cooperative I：limit sets［J］.SIAM J.Appl.Math.，1982，（13）：167-179.

［3］M.W.Hirsch.Differential equations and convergence almost everywhere in strongly monotone semifows［J］.Contemp.Math.，1983，（17）：267-285.

［4］M.W.Hirsch.Systems of differential equations which are competitive or cooperative II：convergence almost everywhere［J］.SIAM J.Math.Anal.，1985，（16）：423-439.

［5］M.W.Hirsch.Stability and Convergence in Strongly Monotone dynamical systems［J］.J.reine.angew.Math.，1988，（383）：1-53.

［6］M.W.Hirsch，H.L.Smith.Monotone dynamical systems.In Handbook of differential equations：ordinary differential equations.Vol.II［M］.Amsterdam：Elsevier B.V.，2005：239-357.

［7］H.L.Smith.Monotone semiflows generated by functional differential equations［J］.J.Diff.Eqns.，1987，（66）：420-442.

［8］H.L.Smith.Monotone Dynamical Systems，an introduction to the theory of competitive and cooperative systems，Math.Surveys and Monographs，41［M］.Providence，Rhode Island：American Mathematical Society，1995.

［9］Xiao-Qiang Zhao.Dynamical Systems in Population［M］.New York：Springer，2003.