一个数学教师的自学經驗

合肥一中数学敎师吳之季，1951年在該校高中毕业，留校任职員。由于他讀中学时数学成績較好，1954年开始担任了初中数学的敎学。初敎书时，基礎知識不足，又缺乏敎学經驗，曾遇到不少困难，在学校領导的鼓励和支持下，就同时开始了在职进修。由于刻苦钻研，勤奋不息，又得到学校中老敎师的帮助，迸步很快。1956年开始敎高中数学，1955年担任学校数学敎硏組的組长，至1959年又担任了合肥市各中学联合組織的数学敎硏組组长。他坚持在职进修，七年来从未間断，取得了良好的成績。現在，已經系統地学习过初等数学和高等数学的基础課程，包括代数与初等函数、初等儿何、解析几何、数学分析、高等代数等，能够基本上掌握这些基础知識;同时，已經敎过中学数学各科的全部課程，幷且有的部分已敎过三、四遍。他备課认真，善于掌提和处理敎材;讲課的重点突出，語言明确、簡炼，板书整洁;对于敎材中的难点，讲得深入淺出，使学生都能听懂;也注意槪念和邏輯論証的严密，不断培养学生的思維能力和严謹的学习习慣;特別注意針对学生的具体情况，联系实际，进行敎学。

他是怎样坚持在职进修取得这些成绩的呢？

几年来他在职进修的一条重要經驗是：一个新敎师开始在职进修，必須和他当前的实际敎学工作結合起来，决不能脫离敎学工作而孤立地去系統学习。

經过一段时間的摸索，他在这方面找到了一些較好的具体办法，收到了显著的效果。这些办法主要是：

1.多看敎材內容相同的各种課本，以現行課本为主，进行分析比較。

他在閱讀了伯拉基斯的数学敎学法之后，受到很大启发。这部节对苏联中学数学的各种敎科书作了分析比較，指出各书的优缺点。书中所提到的苏联中学各种課本，許多已在我国翻譯出版。他搜集了这些課本，同时还搜集我国解放初期的、現行的、普通中学的、中等技术学校的各种課本，結合备課进行閱讀，又以現行課本为主，加以分析比較。这样一来，在分析敎材、改进敎法等方面，都得到了很大的好处。例如，他在敎立体几何棱柱部分时，看了安德列也夫、格拉哥列夫以一及阿达瑪所著的各种几何課本，和我国現行課本加以比較。現行課本中关于棱柱直戯面的定义是“垂直子棱柱側棱的截面”，而格拉哥列夫著的課本中是“棱柱被垂直于它的侧棱的平面所截，那末和各側面相交所得到的多边形叫棱柱的直截面”。可以看出，后者較前者更为明确。又如，代数中极限槪念，一般課本均讲得比較严密，只是抽象难懂，而十年制課本中的説法，則較为淺显易懂，但不严密;苏联法捷耶夫和索明斯基編的代数学中，用数軸給以几何解釋，又比較直观易懂。經过比較和分析后，他在敎学实踐中，把几方面的优点有机地結合起来，加以运用。卽：先用淺显的叙述，使学生初步形成极限的观念;再运用数軸給以几何說明，使学生进一步获得直观的印象;最后，以精确的語言作更进一步的叙述，使学生形成明确的极限槪念。这样做，敎学效果很好。再如，普通中学課本比較重視槪念的严密，新近修訂本注意到体現問題从实际提出的原則，而中等技术学校課本，則側重于知識的实际应用（敎学改革以前的中学数学課本，在联系实际方面的材料較少），他在敎学中就适当地兼取了各种課本的长处，显著提高了敎学质量。

2.結合备課，圍繞敎材內容，閱讀高一級书刊中約有关部分。

备課中，有些問題光靠看敎学参考資料和看敎材相同的各种課本，还不能解决。因此，他圍繞敎材內容，进一步阅读了高一級书刊中的有关部分。这样做的好处是，敎师掌握了高一級的有关知識，敎学时居高临下，有利于更深刻的掌握敎材和恰当地处理敎材，有些原来不能解决的問題也因此得到了解决。例如，在讲对数定义时，是以下面的定理作前提的，卽当a>0，a≠1，N>0时，必有一个唯一的数b滿足ab=N。怎样得到这个定理呢？他看了諾■塞洛夫的初等代数敎程，才明白是用区間套縮原理証明的。在中学敎学中，不可能向学生讲区間套縮原理，但在讲指数函数时，就利用指数函数的图象，給这个問題以直观的說明，使学生初步掌握这个定理，以便于学习对数。又如，在代数課本中，变量极限是在数列极限的基础上定义的。究竟变量的极限与数列的极限有什么关系？能否这样定义？他在以前是搞不淸楚的。經过学习数学分析的有关部分以后，才搞明白这个問題。

3.提早备課和加强大单元备課。

他开始敎課时，常常是在临上課前几天才备課的，而且是一周一周地备，有时来不及，竟是备一課敎一課，搞得十分仓促。这样的备課，費时费力敎学效果还不好。經过一段时間的摸索，他改变了这种情呪，采取提早备課和加强大单元备課的办法，效果很好。这个办法，他是在学校領导的提示下摸索出来的。学校领导在每学期結束时，就宣布下学期各敎师担任的課程，要求敎师早些备課。于是，他充分利用假期，提早备課。对于已敎过一两遍的課，只适当鮎硏，弥补过去不足的地方;而把主要的时間和精力放在过去未敎过的課上面。他在假期中广泛搜集和閱讀有关資料，訊眞进行大单元备課，着重分析敎材，写好每一大单元的敎学笔記和分課的課时計划要点。开学后，再在每次上課前，根据具体情况，对課时計划要点进行补充和修訂。

这样做的好处，首先在于大单元备課便于分析敎材，从整体出发，通盘考虑敎学方法和进行具体安排。其次，大单元备課便于集中时間和精力，較之分散备課省时間，收效大。再次，这样做可以有充分的时間来钻研备課中发現的疑难問題，同时，当每次上課前对課时计划重新作具体考虑和进行补充或修改时也会有迴旋余地。

由于他采取了以上三点措施，使在职进修和实际敎学工作相互結合，相互促进。在集中精力备課的过程中，就同时进行了业务进修;而业务进修又直接帮助了备課。这样，基本上解决了进修和敎学工作之間的矛盾。由于备課充分，敎学效果显著提高，学生反映很好，作业中的錯誤也逐漸减少。同时，随着备課的加强和敎学工作的改进，他的业务水平也有了显著的提高，对于与敎材內容密切相关的知識，得到了很大的充实，幷且已經掌握了一些有效的敎学方法。

这样持續了一年多的时間，敎学效果和业务水平均継續得到了进一步的提高。但是由于对高一級的数学知識沒有进行过系統的学习，在更进一步提高敎学质量中，仍然經常遇到一些困难問題，不能及时解决。特別是由于以前在結合备課的进修中，所学到的数学知識只是东一点，西一片，一鱗半爪，很难融会貫通，也不易巩固，更不可能运用自如。因此，在他的敎学效果得到显著提高，幷且基本上熟悉了所敎課程的敎材內容之后，就感到有必要和可能在継續結合备課、圍繞敎材內容坚持进修的同时，开始进行系統学习高一級数学知識的进修，使两方面的进修同时幷进。学梭領导在工作安排上給予了新敎师在职进修以便利的条件，例如，他第一年只排一个課头，第二年則排一个新課头和一个老課头;幷且先排纵的跟班上的課，后排橫的几科幷进。这样安排，使系統学习高一級数学知識的进修也有可能与敎学工作适当結合起来。他在开始了两方面的进修同时幷进以后，便注意在許多可能的情况下，使两方面的进修密切联系起来，相互补充，相互促进，而仍以結合备課、圍繞敎材內容的进修为主，防止在某些情况下，发生两方面进修爭时間的矛盾。

經过一个时期的实踐以后，他又在系統学习高一級数学如識的进修方面，摸索到一些較好的经验，因而取得了很大的收穫。这些經驗主要是：

1.循序前进，打好基础。

他在开始进行系統学习高一級数学知識的进修时，也曾因为貪多求速走了弯路。在不断发現問題和解决問題的过程中，才逐渐体会到循序前进、打好基础是十分重要的。根据他的体会，如果中学敎材內容不全部熟悉，要想自学进修高一級数学知識，是十分困难的。他在高中毕业时，未学过立体几何;三角虽然学过，但未学好，印象不深。当他进修高等数学因此受到影响时，就决心回过头来先把立体几何和三角学好，然后再学高等数学。他学立体几何和三角是采用系統听課的方法来进行的，听課后深入钻研，做完全部练习題，认眞学懂学透。

他在学好中学数学全部課程以后，接着依次学习解析几何、数学分析和高等代数（包括行列式和向量的基本知識）。他通过有关杂志（如数学通报、数学敎学等）的介紹和向老敎师請敎，了解到这儿門課是进一步学习数学的基础知識，必須扎扎实实地学好。同时，这几門課又与中学数学敎材有着密切的联系，如中学几何課中很多問題（如軌迹）都与解析几何有密切联系，解析几何、数学分析与中学代数、三角課联系密切，学习了解析几何和数学分析，对于中学代数中的函数、方程图象、极限、二元一次方程組等等問題的敎学，都有很大的帮助。高等代数的学习，則对中学代数的敎学有很大好处。学习这些課程，必須一科一科地循序进行，如果不注意这一点，貪多求速，就很难学得好。

2.善于安排时間、利用时間。

进修开始时，他曾把时間安排得过死，象学生的課程表一样。結果往往因工作而打乱了計划，原来的时間安排，无法执行。經过一段时間的摸索后，他采用了“大固定、小机动、安排宽、抓得紧”的办法，效果較好。这个办法，就是把每学期进修的总进度固定起来，把大单元备課时間和每周經常性的敎学活动时間（如上課、輔导、批改作业、例会等）固定起来，每周具体进修时間不安排太死，遇到可以利用的时問，无論长短，都抓紧利用起来。每周进修进度的安排是較寬的，山于时間抓得紧，因此一般情况总是可以完成或超额完成进修计划的。同时，他还注意提高工作效率，合理安排各項工作。这些，都使他有可能节省出不少时間用来进修。例如，他曾总結自己批改作业的經驗，找出一些办法，提高了批改作业的工效。这些办法是：把同年級同进度的作业放在一起改。批改时，敎师先熟悉解題过程;然后抽出几个功課較好的学生的本子批改，以求解题更加熟练。接着批改几个功課較差的学生的本子，从中发現学生作业可能产生的問題，最后再批改一般学生的本子，这样就改得快，效果好。此外，对功課較好的学生的作业中的錯誤打上記号，加上簡单批語，使其自改;对中等程度的学生作业中的錯誤詳細批改;对功課较差的学生作业中的錯誤，則多半当面訂正，幷結合个別輔導。由于业务水平不断提高，敎学不断改逬，学生作业中的錯誤也随之遂漸减少，因而批改作业的时間也就愈来愈縮短了。又如每年下半年高三总复习工作較忙，就早把这个情况估計在进修計划之內，采取忙时少学、松时多学的办法。同时，又把寒暑假期的一部分时間安排在进修计划内，作为机动时間和系統的复习、巩固之用。这些情况說明，只要善于安排时間和利用时間，进修的时間問題就一定可以得到适当的解決。

3.善于克服进修中的困难。

由于系統进修主要是依靠个人自学，在进修中就免不了要发生一些困难的問題。这些問題，常常象“拦路虎”一样阻碍着进修的前进。他是怎样解决这些問題的呢？主要是在思想上不为这些困难所吓倒，有坚决克服困难的勇气和决心;同时，也要有克服困难的具体办法。他在几年来的实踐中，除了常向老敎师请教疑难問題外，还在门我钻研的基础上，找出了一些行之有效的具体办法：

首先是精讀多看。所謂精读多看，就是在学习某一課程时，要搜集这門課程的各种不同的課本，确定其中最适合的一本，作为精读节，其余的作为参考书。在学习时，要对精讀书反复钻研，深入領会其精神实质，不这样，就不可能牢固掌握所学的知識。他在开始进修时，正是由于缺乏精读，掌握知識不牢固，継續进修遇到困难，因而不得不返工走回头路。精讀需以一节为主，这对初进修的人是十分必要的，因为初进修的人很难同时精讀几本书，如果沒有一本书作为学习的主要对象，不分主次地同时学习几本书，反而难以取得很好的效果。除了精讀一书之外，还必須围绕精读书的某一內容，同时多讀其他各种課本中同一內容的部分，加以比較和分析。这样相互参照学习各种課本对同一問題的闡述，常常可以得到很多启发，对敎材內容理解得更深更透，而自学中的一些“拦路虎”也常常因此扫淸。

如何确定精讀书？他主要是注意报章杂志关于这方面的介紹，同时多向老教师请教，再加以自己在学习的实踐中多次比較和选擇，才最后确定的。