利用导数研究函数性质

【摘要】“导数及其应用”是高等数学的重要组成部分，同时又是微积分的核心内容之一.导数的广泛应用，为我们解决函数问题、研究函数性质提供了有力的工具.本文通过分析导数学习前后解题方法的比较，使学生可逐渐体会到，导数在研究函数性质中所包含的很多重要的数学思想与方法，认识到导数至关重要的工具作用.

【关键词】导数；极限；单调性；最值

導数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，新的方法.导数也是研究函数性质（如，求解函数极限、判断单调性）、求函数最值等数学问题的有力工具.

一、利用导数求函数极限

利用洛必达法则，可以很轻松地应用导数工具来求解一些00型极限，或者∞∞型极限.

例如，求 limx→01-cosxx2.

方法一：limx→01-cosxx2=limx→02sin2x2x2=limx→0sin2x22x22

=12limx→0sinx2x22=12.

方法二：limx→01-cosxx2=limx→0sinx2x=limx→0cosx2=12.

对比这两种方法，方法一先是利用三角变换，将1-cosx转化为2sin2x2，再通过变形利用重要极限 limx→0sinxx=1，最终求出极限值.此方法要求学生熟练掌握三角恒等变化，以及重要极限的变化形式，对知识量要求较大，运算也有一定的技巧性，步骤较多.

而方法二利用洛必达法则求解，首先，需要判断是否满足洛必达法则的条件，该极限是属于00型极限，其次，利用洛必达法则，分子分母同时求导数，最终求出极限.此方法运算量较小，只需掌握函数求导法则即可.通过上述分析，显而易见方法二更简便，容易掌握.当然这样的例子还很多，比如，limx→0x3x-sinx用以前的知识就很难求解，而运用洛必达法则之后求解就变得很容易了.但需要注意的是洛必达法则有使用条件，不能凡是见到求极限的题目就盲目地用洛必达法则求解.

通过用洛必达法则求函数极限的讲解，让学生初步认识到了学习导数的重要性.

二、利用导数判断函数的单调性

在未学习导数知识之前，判断单调性时，只能用定义或根据常用函数的单调性来推导，这种方法不仅运算量较大，而且有时也会出现无从下手的情况，如y=x+1-x类函数.

例如，y=2x3-6x2+18x+1，定义域为R.

方法一：利用定义判断，设x1，x2∈R，且x1>x2，f（x1）-f（x2）=[2x31-6x21+18x1+1]-[2x32-6x22+18x2+1].

经过化简，得到f（x1）-f（x2）>0，故f（x1）>f（x2），因此，函数为定义域R上的增函数.

方法二：利用导数判断，先求导数y′=6x2-12x+18=6（x2-2x+3）=6[（x-1）2+2].

经过配方得出上式值恒大于零，由定理得函数为定义域R上的增函数.

比较上述两种解法，方法一中，只有判断出f（x1）与f（x2）的大小关系，才能得出f（x）的单调性，在化简过程中多次配方，并用到平方差、立方差公式，运算非常烦琐，还有很大的技巧性.而方法二中，利用导数判断单调性，只需求导一次、配方一次，即得到结论，步骤少，运算简便.因此，在判断单调性的解题中，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作性.

三、利用导数求函数最值

之前，求最值有很多方法，如，配方法、数形结合法、换元法等等，根据不同的题目要选择合适的方法，如，求函数y=x+2x-1的最值要用换元法，求y=（ex-a）2+（e-x-a）2要用配方法等.利用导数求最值主要是求闭区间上连续函数的最值.

例如，求函数y=x3-3x2+1在闭区间[-2，0]上的最值.

方法一：先通过单调性的定义判断出该函数在[-2，0]上是单调递增的，再求端点的函数即可求出最值.

方法二：先对函数求导数得y=3x2-6x，分解因式，在闭区间[-2，0]解导数为零的点x=0，求导数为零的点处以及端点处的函数值，比较之后得出最大值为f（0）=1，最小值为f（-2）=-19.

比较上述两种方法，方法一在判断单调性中，技巧性较强，运算量也很大.而且这种方法很有局限性，若函数在题目中所给区间上不是单调的，那判断就会更加复杂.而方法二中，利用导数求最值比较简便.

以上通过举例、比较，分析了导数在求极限、判断单调性、计算最值等方面的运用，充分说明了导数在研究函数性质及数学计算上的优势，因此，导数不仅为数学学科内自身的计算提供了新的方法、新的理念.同时，导数也广泛地应用于物理学、经济学等许多个数学之外的学科，起着极其重要的作用.

【参考文献】

[1]盛祥耀，主编.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]武慧敏.浅谈利用导数解决函数的几个问题[J].中考（教师版），2009（4）：38.