基于Mathematica的《数理方程》可视化教学改革探索

摘要：《数理方程》素来具有知识点综合性强、数学推导复杂烦琐、学生普遍缺少学习兴趣和耐心等特点。以Mathematica符号计算平台为基础，我们针对弦的振动过程、杆的热量传导、温度（电势）的稳恒分布、行波的传播以及特殊函数的性质等教学环节设计了一定的图形和动画，将难以描绘的物理现象和抽象的特殊函数向学生进行可视化演示，从而在一定程度上激发了学生的学习兴趣，提高了课堂教学效果。

关键词：数理方程；可视化教学；Mathematica软件

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）52-0144-03

一、数理方程的课程特点及教学中存在的问题

数理方程是指在物理学、力学、工程和技术等领域提出的经过一定简化后能够反映客观世界物理量之间关系的微分方程。它是一门数学、物理知识高度综合的课程，需要《高等数学》、《线性代数》、《常微分方程》、《复变函数与积分变换》和《大学物理》等课程的诸多知识点作为基础。首先，数理方程所涉及三类模型的建立都是以物理学中的基本原理或实验定律为基础的。其中，部分原理和定律是学生在中学或大学物理中学习过的，而另一部分则是学生完全没有接触过的，如热传导方程的建立需要利用傅里叶实验定律。其次，求解数理方程定解问题的各种解析方法是本课程讲授的主要内容，这些求解方法都需要完成大量微分和积分运算，其显著特点为计算和推导烦琐、过程和步骤冗长、数学知识点多且综合程度高。以齐次方程在齐次边界下的分离变量法为例，其求解过程涉及变量分离、常微分方程本征值问题求解、线性叠加原理以及傅里叶级数展开四个主要知识点。最后，数理方程具有十分深刻而广泛的物理背景，其解可以准确地描述一些实际物理过程或现象。例如：利用分离变量法求解所得本征值和本征函数可分别表示驻波的频率和波形。

《数理方程》不仅能够很好地锻炼学生综合应用数学物理知识的能力，而且在一定程度上还可以提高他们的理论分析、模型建立和解析计算能力。然而，在实际教学中该课程却被公认为“学生难学、老师难教、考试难过”[1]。从学生角度讲，数理方程涉及数学知识点众多、理论分析复杂、计算量大、过程冗长而烦琐，这使得不少学生认为该课程沉闷乏味，很快便失去了继续学习下去的兴趣和耐心。不仅如此，大量的数学推导和计算也让学生无暇顾及数理方程的物理背景和实际应用，从而难以将数学计算结果与实际物理过程和现象进行联系。从教师角度讲，受课程知识体系结构和传统教学理念的束缚，老师们习惯将该课程当作一门数学基础课进行讲授，一味强调理论的完整性、步骤的连贯性，满堂课充斥着理论分析和数学计算，极大地降低了课堂的趣味性和生动性。因此，如何激发学生对数理方程的学习兴趣和提高该课程的教学效果一直是教师们关心的一个问题。近年来，已发表的相关教学改革研究包括：利用Matlab进行数值仿真的可视化教学改革[2，3]、体现专业需求和特色的教学改革[4，5]以及实验教学和数值仿真相结合的教学改革[6]等等。

二、Mathematica软件及可视化教学改革探索

随着数学和计算机科学的发展，符号计算（亦称“计算机代数”）作为一门新兴的交叉学科逐渐形成并迅速发展[7]。由美国物理学家Stephen Wolfram发明的Mathematica是一款以符号计算功能见长的数学软件，能够完成矩阵和张量的计算、初等函数的化简、定（不定）积分的计算、函数的幂级数展开、代数方程和微分方程组求解等复杂的符号运算，并且具有强大的二维和三维绘图功能。Mathematica用户界面友好，操作简单、易学、易用，这是因为它具有像计算器一样简单的交互式操作方式，计算是在用户和软件相互交换和传递信息数据过程中完成的。经历近三十年的发展，Mathematica在数学、物理、工程技术和计算机方面的专家学者中得到了广泛应用，成为理论研究的重要实验工具。不仅如此，她还被用于计算机辅助教学，目前已成为国内很多高校数学类课程有力的辅助工具。教师可通过该软件直观形象地向学生解释抽象的数学概念和几何含义，而学生则可利用Mathematica“轻松做数学题”，从而提高学生运用数学软件解决问题的能力。

数理方程求解涉及多元函数微积分、常微分方程求解以及傅里叶级数展开等复杂的计算，这些运算大部分都能够在符号计算系统上得以完成；另外，Mathematica强大的绘图功能使得对数理方程的精确解析解进行可视化演示成为可能。因此，将Mathematica融入《数理方程》的可视化教学是可行且十分有必要的。为了改变传统的满堂公式推导和求解计算的教学方式，我们制作出一套含有丰富图形和动画的电子课件，尤其是将一些难以描绘的物理现象和抽象的特殊函数进行可视化演示，具体的改革内容如下：

1.利用分离变量法求解数理方程在不同初边值条件下的定解问题是一个极其重要的教学内容，但是如何将分离变量解与实际物理过程和现象相联系是教学中容易被忽略的环节。我们通过二维（三维）图形和动画演示，让学生清楚地看到在固定端、自由端和弹性支撑端三种情况下的弦振动过程，在恒温端、绝热端和热交换端三种情况下一维有界杆的热量传导过程，以及在圆盘、圆环或扇形区域温度（电势）的稳恒分布。

2.行波法是求解双曲型方程的常见方法，但是如何理解行波解的物理意义却让学生倍感头疼。为此，我们利用二维动画让学生观察到行波的传播过程，同时通过初值条件的改变向学生演示初始扰动对于行波传播的影响。另外，我们还将理论分析和图形演示相结合，形象地解释如何根据达朗贝尔公式理解依赖区间、决定區域和影响区域等概念。

3.在利用分离变量法求解球（柱）坐标系下三类数理方程时还会涉及贝塞尔函数和勒让德函数。不同于常见的初等函数，这两类函数是用级数形式表示的特殊函数。利用Mathematica的函数绘图功能，我们可清楚地向学生展示这两类函数的零点、周期性和极值分布等特征，从而使学生建立对这两类特殊函数直观形象的认识。

三、基于Mathematica的数理方程可视化教学案例

1.一端固定一端自由的弦振动过程演示。

对于如下波动方程定解问题：

该段代码的最后一行可输出弦自由振动的动态演示图，截取部分时刻的静态图形如下：

通过图1的演示，学生能够清晰地观察到在一端固定而另一端自由情况下弦的自由振动过程。进一步，我们可以分别作出U[1]，U[2]，U[3]…的动态演示图，使学生理解为什么分离变量解是由一系列驻波叠加而成。此外，我们还能选取不同的a值作出弦振动的动态演示图，从而让学生感受参数a与波传播的速度有关。

2.两端固定的弦受迫振动过程演示。

对于如下非齐次波动方程定解问题：

四、结束语

我们利用Mathematica强大的符号计算和绘图功能，将难以描绘的物理现象和抽象的特殊函数以图形或动画形式演示，使得学生能够直观形象地理解数学表达式，并且与具体物理现象和过程建立联系。这既锻炼了学生的物理思维，又激发了他们的学习兴趣。然而，仅仅在电子课件中增设可视化教学环节对于显著改善《数理方程》的教学效果还是不够的。我们下一步的教学改革思路有如下两方面：（1）增加Mathematica的上机教学环节，向学生讲授符号计算和图形绘制的常用指令，让数学软件成为学生学习《数理方程》的“演草纸”；（2）增加课程大作业环节，设计难度适当的综合性题目，要求学生利用本门课程所学知识并借助Mathematica完成数学計算和图形分析，以提高综合运用数学、物理和计算机知识解决问题的能力。

参考文献：

[1]王正斌，毛巍威，杨志红.“数理方程”课程教学改革探索[J].宜春学院学报：自然科学，2006，28（6）：51-52.

[2]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]郭云均.基于Matlab的数学物理方法可视化教学举例[J].江苏教育学院学报：自然科学，2012，28（6）：47-49.

[4]赵忠奎.《数学物理方法》课程教学改革的研究与探索[J].教育教学论坛，2012，（32）：57-58.

[5]赵新宏.光信息类专业数学物理方法教学改革探索[J].教育教学论坛，2014，（52）：111-112.

[6]王正斌，李章荣，矾龙延.数理方程实验教学改革的实践[J].教育教学论坛，2013，（48）：35-37.

[7]张韵华.符号计算系统Mathematica教程[M].北京：科学出版社，2001.