破解利用导数研究函数单调性的几个着眼点

导数是近代数学的重要基础,它体现了近代数学中的“逼近——极限”这一数学思想，是联系初、高等数学的纽带。它的引入为解决中学数学问题拓展了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值与最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具。导数方法与初等方法相比，对解题技巧的要求较低，具有一定的可操作性。因此，它作为一种有效的工具，成为高中数学课程的必选内容，同时也是高考命题的热点。笔者现就利用导数来研究函数的单调性结合具体实例予以介绍。

一、 分类讨论法

例1 ：已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a)，x∈[0,2]，试研究函数f(x)的单调性。

分析：此题研究函数在给定区间上的单调性，因含有参数，需进行必要的讨论。解：f(x)=x3-ax2，x∈[0,2],∴f"(x)=3x2-2ax=3x(x-)。 （1）当≤0即a≤0时，f"(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在[0,2]上单调递增；（2）当>0即a>0时，令f"(x)>0，得x>。①当≥2即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减；②当<2即0

二、 直接定号法

例2 ：已知函数f(x)=x2-alnx在(1,2]上是增函数,g(x)=x-a在(0,1)上是减函数。（I）求f(x)，g(x)的表达式；(II）当b>-1时,若f(x)≥2bx-在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围。

分析：（I）中建立两不等式，利用夹逼思想可解决。 (II）中是一道恒成立问题，构造函数φ(x)后我们发现不等式φ(x)>0不可解，常规方法在这里行不通，但通过观察与计算发现，φ(x)可直接定号，此法就起到了“柳暗花明又一村”的作用。解：（I）f"(x)=2x-依题意f"(x)>0,x∈[1,2]即a<2x2,x∈[1,2]。而2x2>2,∴a≤2，又g"(x)=1-,依题意g"(x)<0,x∈(0,1)即a>2,x∈(0,1).而2<2,∴a≥2② 由①②得a=2。∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2。（II）设φ(x)=x2-2lnx-2bx+ ，则φ"(x)=2x--2b-=2(x-)-2(+b)=2-2(+b)。因为x∈[0,1],b>-1,∴2≤0,+b>-1=≥0，∴-2(+b)<0。∴φ(x)<0恒成立，∴φ(x)在（0，1]在上为减函数，∴φ(x)min=φ(1)=1-2b+1≥0，解得b≤1，又因为b>-1，所以-1

三、 二次求导法

例3： （2010年安徽高考题第 17题）设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R。(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1。

分析：（Ⅰ）中可通过解不等式求函数单调区间。 (Ⅱ)中构造函数g(x)后我们发现不等式g(x)>0不可解，直接定号法也失去了它的效用，因此考虑二次求导法，有利于问题解决。解：(Ⅰ)由题意知，f"(x)=ex-2，令f"(x)>0得x>ln2，∴f(x)在区间(ln2,+∞)上递增，在区间(-∞,ln2)上递减。且当x=ln2时，(f(x))极小值=2-2ln2+2a，无极大值。(Ⅱ)当x>0时，令g(x)=ex-x2+2ax-1，∴g"(x)=ex-x2+2a 。由(Ⅰ)知，(g(x))min=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，∴g"(x)>0在，即g(x)在(0,+∞)上递增，又g(0)=0，∴x>0时，g(x)>g(0)，即ex-2+2ax-1>0，∴ex>x2-2ax+1。评注：本题若将第一问去除，则给解题增加不少难度。不少同学都知道构造函数利用导数去求函数的单调增、减区间，但该题中不等式g"(x)>0不可解，所以我们考虑二次求导，目的是通过再次求导判断导函数的符号（恒正），即可得原函数在(0,+∞)上单调递增，于是问题迎刃而解。

四、 部分求导法

例4:（2010年全国卷2第22题第一问）设函数f(x)=1-e-x。证明：当x>-1时，f(x)≥。

分析：此题常规思维是构造函数，利用导数求新函数的单调区间，此题和上一题一样遭遇相同困境，无法求出函数的单调区间，且直接定号法，二次求导法均不可行。能否有别的出路？证明：f(x)-=.令g(x)=ex-x-1,∴g"(x)=ex-1，令g"(x)>0，得x>0,∴g(x)在(0,+∞)上递增，在（-1，0）上递减。∴g(x)在x=0处取得最小值，因而当x>-1时，g(x)≥g(0)，而g(0)=0，∴ex-x-1≥0，∴f(x)-≥0,即f(x)≥。

总之，利用导数研究函数的单调性是高中阶段讨论函数“变化”的最基本的方法，教师在教学过程中应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题，培养学生思维的发散性、灵活性，激发学生独立思考，培养其探究能力，让学生充分体验成功的喜悦。

（南通市天星湖中学）