第一届“数学写作”学校联盟中学生写作竞赛佳文选登

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解题小心得

1.端点取舍有妙招

江苏省高邮第一中学 高一（5）班 吴思睿

指导老师：潘梅耘

英國作家培根曾经说过：数学使人周密.在我看来，学数学简直就是一种乐趣，苦思冥想，解出题后的喜悦，上课回答问题时得到老师的表扬，这些都是快乐的源泉，然而在进入高中，学习集合后，我却碰到一些棘手的题目，特别是在端点的取舍中，吃了大亏，不得不说这些题目暗藏玄机.

有关端点取舍的题目真的是类型多多，下面这道题便很有研究价值.

在案例纠错的基础上又增加好儿个变式后，大冢是/卜是对有关端点的问题有更深刻的了解了呢？切记在这类问题上不能死记硬背，一定要数形结合，解题才能一帆风顺.

【指导老师评语】 作者从数学学习中的一类端点易错题入手，通过一系列相关变式，层层深入，不断优化，言简意赅地阐述了端点取舍问题的处理思路、方法及注意事项.这篇习作有利于学生训练思维的严谨性和深刻性，同时也培养学生对数学的学习兴趣和创新精神！

2.解题手记

浙江省杭州第九中学 高二（8）班 王豪豪

指导老师：龚雷

翻开试卷，我偶然间发现自己还有些题目未完成.于是，目光落在了一道空着的大题上：

题1 在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为：x-2y+l=0，角A的平分线所在直线方程为：y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标，

读完题，心中并未翻起任何波澜.虽然每一个条件都能读懂，知道那些条件是什么，但这些与所求的“A和C的坐标”又有什么关系呢？

虽然根据这些条件我可以在脑海中画出一张图，但这张图中的每个元素之间似乎是没有什么关联的，像是路边互不相识的陌生人.

——不行！我得给他们拉个线，让它们相互认识认识.于是我把脑海里的这张图画到草稿纸上，希望能在图中找出它们的关联.

然而，图1中连三角形的影子都没有！

正难则反.既然从条件弄不出什么名堂，那就只能从结论人手试试看.

我不管条件中的具体方程和坐标，把△ABC和BC边上的高、角A的平分线等元素画在另一张草稿纸上，如图2.

将两张图对照着看，突然眼前一亮：A点不就是两条已知直线的交点吗！于是很轻松地联立方程x-2y+l=0和y=0，解出A点的坐标为（-1，0）.

接下来，研究怎么求C点的坐标.从图2可以看出，C点应该是直线BC与AC的交点，那么这两条直线的方程能不能求出来呢？

对于直线BC，现在已知的是直线上B点的坐标，只要再有一个斜率，就可以用点斜式将直线BC求出来了.可斜率从哪里求呢？一时没思路，于是我只能开始一遍遍地读题目，画出题干中的关键词，一边读题一边看两张草图.

突然，脑海里闪现出了三个相关的东西：

高→垂直→斜率成负倒数

思路至此打通：我可以作直线AH垂直于直线BC，因为直线AH垂直于直线BC，且AH的直线方程为：x-2y+l=O，所以由k_AH-1/2可以算出k_BC=-2，又因为B点坐标已知，所以结合点斜式方程，可以求出BC直线的点斜式方程为y-2=-2（x-1），将其整理得到了BC直线的一般式方程为2x+y-4=0.

但这还没完，只求出了一半.还得求出直线AC的方程才能解出C点的坐标.然而，直线AC也只已知它上面的一个点A，不知道斜率，也不再有垂直——思路再次戛然而止，脑海中反复回荡着这几个问题：接下来我该怎么做呢，那个“角A的平分线”和直线方程有什么联系呢，我应该怎么求出C点坐标呢？笔尖不断摩擦着草稿纸，思路仿佛被困在了笔尖所画的圆圈里，难以挣脱出来.我愣在那，呆呆地看着自己画的一个又一个的圈，不一会儿，我突然回过神，连忙将草稿纸翻了过去，将自己的思路重新整理在了那张崭新的草稿纸上，并且画了一幅更加清晰准确的草图，可大脑却依旧混乱，不知该怎么求出点C的坐标.我叹了口气，手很自然地挠了挠头，视线不经意落在了“角A的平分线所在直线方程为：y=0”这个条件上片刻，又无奈地移开……

既然在这里百思不得其解，那也只好暂且放一下，把其他题做完再说吧！我转到了另一道填空题上：

题2 直线3x-4y-5=0关于y轴对称的直线方程为 _______.

看了这道题，我笑了笑，想到，这题太简单了，不就是把x换成-x么.几乎不用打草稿我就写下了答案.

这时我的心情比刚才好多了，但，当我再次回到了刚才那道还没解出的题上，又沮丧了起来.

“沮丧！你不是我的朋友，请你马上离开我！”我的内心在呼喊着.

这时我想起了老师说过的一句话，“不会做难题，是因为没有把容易题玩透”.

于是我想：让我再好好玩玩这道给我带来好心情的题目吧！随即，题2的图便被我画在了草稿纸上：

看到这，自己突然愣了一下！

y轴不就是两条直线（已知直线和所求直线）的角平分线吗？！

之前那个“角A的平分线所在直线方程为：y=0”不就是间接地说明直线AB与直线AC关于x轴对称么？

我马上回到之前那道题，利用角平分线y=0恰好为z轴这个特殊性，根据直线AC和直线AB关于x轴对称，轻松求出AC的直线方程.

做完这道题，回头再看看过程，我对这道题真的是爱不释手.如果不写下这段解题过程与同学分享，实在对不起这道题.

原来数学可以这么巧妙！

【指导老师评语】对印象比较深的一道题的解答过程做一个细致的回顾和记录，这不但可以从一道题中学到更多东西，而且也锻炼了数学语言的表达能力.如果能再归纳总结几点对以后解题的启示就更好了.