高等数学应传授的基本数学思想和基本数学方法

摘要：数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。高等数学的教育教学中应该把握好基本数学思想和基本数学方法的教学。

关键词：高等数学；数学思想；数学方法；数学方法

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。高等数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、积分观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比如语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学学等。只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是运用数学思想；当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。

所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、方法或程序。同一手段、方法或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。

数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电脑的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。

一、高等数学中应该传授的基本数学思想

高等数学担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。

1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构化思想、抽样统计思想（概率统计）、极限积分思想、空间几何思想等。前三种基本数学思想从大一上期就开始渗透了，并贯彻于整个大学阶段；抽样统计思想、极限思想可从大一下期开始渗透，极限积分思想、空间几何思想可从大二开始渗透。至于公理化与结构化思想，要注意根据人类的认识规律，逐步渗透。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限积分思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从大一就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后再“介绍”(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、微积分思想等等，这些基本数学思想贯穿于整个大学阶段，也最能长久保存在人一生的记忆和应用之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

二、高等数学教学中应该传授的基本数学方法

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于大学低年级的学生变量数学、空间几何的知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念的提出过程、知识的形成、发展过程、解决问题和发现规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成他们获取新知识，运用新知识解决新问题数学方法。反之，若忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。

2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照学生的认知能力、理解能力和可接受性能力，由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。

3、掌握“方法”，运用“思想”。数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。

4、提炼“方法”，完善“思想”。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。

总之，在高等数学的教育教学中应该把握好基本数学思想和基本数学方法的教学，教给大学生分析问题、解决问题的思想方法，进而把数学思想和数学方法应用到各个学科领域。

参考文献

［1］《谈微积分中的数学思想及其教学》 冯凤萍

［2］《数学思想方法及其教学研究》凌明伟