做好少数民族学生线性代数教学的体会①

摘 要：由于语言、思维习惯、基础等因素的影响，新疆地区少数民族大学生学习理工科课程倍感困难。如何从民族学生的特点出发，探索出适合民族学生的教学方法，一直是我区高校教师研究的课题。本文结合作者的教学经验，从民族学生的特点出发，从四个方面谈做好线性代数教学的体会。

关键词：线性代数 民族学生 教学体会

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（b）-0089-02

线性代数是代数学的一个分支。随着数学理论的发展及应用的日益广泛，线性代数的理论和方法已经渗透到物理学、统计学、计算机科学、人工智能、系统控制论、信息论、图形图像处理、材料化工和农林医学等领域。同时，线性代数是一门对理工科学生极其重要的学科，它不仅是学习后续课程如大学物理、线性规划、统计分析、计算方法、图论等专业课的基础课程，还可以培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，因此这门课程是理工科学生必修的一门重要的基础理论课。

线性代数具有很强的理论性、抽象性、逻辑性，要求学生要有较强的抽象思维能力和逻辑思维能力，而且这门课的各章节的知识联系紧密，如果哪一个环节或知识点没有掌握好，势必影响相关内容的学习，这就需要学生能够有意识地把前后知识相互联系，融会贯通。因而对学生的要求是比较高的。

我校信息管理与信息系统专业和生物医学工程专业开设了该门课程。通过几年的教学，发现我校的少数民族学生学习并掌握这门课程有一定难度。新疆是一个少数民族聚集的地区，少数民族学生占有很大比例，汉族班中有1/3是民考汉和双语班的民族学生，还有一半的班级是纯民族班。其中绝大多数学生来自全疆偏远地区，汉语水平很低，在教师使用汉语进行授课时，在听课和理解等方面会感到非常困难。同时多数民族学生数学基础不够扎实，理解能力较差，不善归纳总结，举一反三，独立学习的能力不强，依赖性较强，学习比较吃力，尤其是数学、物理等理科课程。因而如何针对民族学生做好《线性代数》的教学就成为我们研究的课题之一。下面根据作者多年教学经验，谈几点教学体会。

1 将授课内容层次化、条理化

也许是编写教材的需要，有些教材的某些章节在内容上有些混乱，缺乏层次和条理，这给学生的预习、复习带来比较大的困难。特别是大多数民族学生独立学习的能力较弱，看书更为困难。这就要求教师在备课、授课时不必拘泥于教材的内容次序，将授课内容用小标题层次化、条理化，使学生对本节课所讲的内容一目了然，可以很方便地根据笔记看书复习。例如：（1）在讲矩阵的概念时，先讲矩阵的概念：包括定义、表示方法、实矩阵和复矩阵。再把一些常见的矩阵：包括行矩阵、列矩阵、同型矩阵、矩阵相等、零矩阵、非负矩阵、矩阵的负矩阵、方阵、单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角形矩阵、对称矩阵集中介绍，这样可以使学生对这些常见的矩阵及其特点先有个系统的初步了解，而不像有些教材那样东一个概念西一个概念，显得杂乱无章。最后讲矩阵的应用：包括矩阵在日常生活中的应用、矩阵与线性变换及线性方程组之间的关系，使学生了解矩阵与线性变换及线性方程组之间的对应关系，初步建立利用矩阵可以解决线性变换及线性方程组的问题的思想。（2）在讲矩阵的运算时，先讲矩阵的运算：包括矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩阵的幂运算。再讲矩阵运算的应用：包括矩阵的运算在日常生活中的应用、线性变换及线性方程组的矩阵方程的表示及利用矩阵的运算解矩阵方程及线性方程组，特别是让学生掌握线性变换及线性方程组的矩阵方程的表示方法，这为利用矩阵及向量解线性方程组打下坚实的基础。最后介绍矩阵的转置矩阵、对称矩阵、方阵的行列式、伴随矩阵的概念及其性质，为逆矩阵做准备。（3）在讲方阵的对角化时分为：相似矩阵的概念及性质，对角矩阵的概念及其运算规律（补充内容），相似矩阵和对角矩阵在计算方阵的幂和方阵的多项式中的作用，方阵对角化的条件及可以对角化时对角化的方法四部分等等。实际上所有的内容都可以采用这种层次化、条理化的方法进行讲解。民族学生非常认同这种教学方法，这使得他们对所学知识的结构更加清晰，条理更加分明，头脑更加清楚，不至于在看教材时头脑混乱，从而失去学习的兴趣。

2 用简单的例子使抽象的证明具体化、形象化

众所周知，线性代数具有抽象性逻辑性严密性等学科特点，其中的很多定理的证明十分抽象，需要学生具有一定的想象能力，而这些定理的证明对学生深刻理解并融会贯通前后所学知识，以此来解决问题，培养其逻辑思维能力是必不可少的，对学生学好线性代数这门课程是非常重要的。而民族学生的直觉思维较好，易接受直观的结论，抽象思维和动手能力较弱，因而学习定理的证明对民族学生来说是非常困难的。在教学过程中，我们采用了利用简单的例子进行辅助证明，使抽象的证明具体化、形象化。例如：（1）在解释性质：“用阶初等矩阵左乘矩阵，相当于对施行一次对应的初等行变换，用阶初等矩阵右乘矩阵，相当于对施行一次对应的初等列变换”及其使用方法时，使用一个简单的例子进行验证，就可以使学生很容易理解其含义和使用方法，在遇到计算若干个初等矩阵与一个矩阵的乘积时，可以用该性质直接得到相应的结果。（2）在证明定理“若，则”中“若经一次初等行变换变为，则≤”时，教材上的证明过程过于简单抽象，民族学生很难理解。我们用一个具体的五阶方阵说明证明过程。如证明“当交换的与变为，有≤”时，设，是矩阵的一个最高阶非零子式，用该五阶方阵分析在既不含也不含、只含与其中之一，既含又含三种不同的情况下，所证的结论都成立。对其它两种初等行变换也同样，这样学生就比较容易理解。（3）在讲解判断列向量能否用列向量组线性表示时，可以先用定义判断一个简单具体的例子，通过该例使学生直观地了解列向量能否用列向量组线性表示取决于非齐次线性方程组是否有解，其中系数矩阵是由列向量组所构成的矩阵，而是否有解又取决于是否等于，从而得到通过计算和判断的方法，然后再对一般情况进行分析，得到相同的结论。判断列向量组的线性相关性也同样如此，既直观又简单。实践表明民族学生非常喜欢这种教学方法，觉得学习变得简单易懂了。

3 注重对相关知识、方法的归纳总结

大多数民族学生归纳总结的能力比较弱，教师应帮助引导学生对所学的知识和方法进行归纳总结。例如：（1）方阵可逆性是线性代数非常重要的内容，其应用几乎贯穿了几乎所有章节。方阵可逆的充要条件非常多，需要教师引导学生对教材中出现的可逆的充要条件进行归纳总结，即：阶方阵可逆（是非奇异矩阵）存在有限个阶初等矩阵，使得……（2）帮助学生总结求常见的求逆矩阵的方法：用伴随矩阵的方法和用初等变化的方法。（3）解矩阵方程和线性方程组常用的方法有：设未知元的方法、逆矩阵的方法（若系数矩阵是方阵且可逆）、矩阵的初等变换方法、向量的方法，并将计算步骤进行总结。这使得学生能够清晰地了解解决这些问题有哪些常用方法，有哪些使用条件和优缺点，怎么去做，能够择题而用。

4 时刻注意纠正民族学生经常出现的错误

线性代数是一门非常严谨的学科，每个概念、记号都有其独特的含义，性质、运算律与学生熟知的实数有很大不同。同时该门课前后知识联系紧密，行列式、矩阵、向量交相混杂，很容易混淆，因此，需要学生从开始就要养成理解每个概念的含义，注意概念间的区别与联系和正确表示方法，注意性质、运算律中与实数不同之处的习惯，这样才能少犯错误。也许是环境使然，大多数民族学生经常会犯混淆概念，乱用记号，想当然地使用性质、公式、运算律等错误。这需要教师从开始就要时刻注意纠正民族学生容易出现的错误。例如：（1）行列式和矩阵是线性代数两个非常重要的概念，矩阵的记号是数表外加括号，行列式记号是数表外加两竖线，形式很相像，但它们是两个截然不同的概念，矩阵是一个行数和列数可以相同也可以不同的数表，而行列式是一个行数和列数相同的数表所确定的一个数或一个表达式，不能混淆，随意乱用。同时矩阵与行列式又是紧密相关的，方阵有对应的行列式，方阵的行列式与该方阵的可逆性、秩等概念、方法紧密相关，从而揭示出矩阵更深刻的特性，因此，在教学中必须要求学生养成正确使用记号的习惯。（2）在进行矩阵的运算时，矩阵的乘法必须满足相乘的条件及不满足交换律，这与实数的运算是完全不一样的，而民族学生经常会犯不注意矩阵的相乘次序及把实数的运算方法和公式直接用于矩阵运算的错误，教师在讲授时应注意向学生讲清矩阵运算和实数运算的本质区别。如：对矩阵而言，①即使矩阵与可乘，但与未必可乘，即使与也可乘，也未必有。②当时，与中不一定有零矩阵。③实数运算等对矩阵运算均不成立。④在用逆矩阵的方法解矩阵方程（线性方程组）（）时，若可逆时，则（），但很多民族学生不注意相乘次序，写成（），造成计算错误。只要教师从一开始就注意纠正像这些经常出现的错误，民族学生的这些不良习惯是可以改正的。

以上主要是针对新疆少数民族学生线性代数教学的几点体会，虽然很简单，但对民族学生的教学却非常实用，只要教师从小处着手，从一点一滴做起，是可以解决少数民族学生学习线性代数的困难，提高线性代数的教学水平。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.（工程数学）线性代数[m].5版.高等教育出版社，2007：1-132.

[2]吴赣昌.（经管类）线性代数[m].中国人民大学出版社，2007（9）：1-167.