浅谈随机变量在实际中的应用

【摘 要】随机变量是概率论与数理统计的一个重要组成部分。本文通过对随机变量序列收敛的性质及定理的分析和研究，阐述了切比雪夫(Chebyshev)不等式和中心极限定理的理论等在实际中的应用。充分展现了随机变量序列在数学领域的重要作用，论证了切比雪夫(Chebyshev)不等式和中心极限定理在实际问题中的应用，从而得出了随机变量序列在实际问题中的解决方法，让我们对其有了更广泛和深刻的认识。

【关键词】随机变量列；切比雪夫不等式；中心极限定理

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望μ和方差σ2，则对于任意正数ε，如下不等式成立P{X-μ≥ε}≤■。切比雪夫（Chebyshev）不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值．设{Xn,n≥1}是随机变量列，如果存在一列实数{an,n≥1}和一列正数{bn,n≥1}，使

则称{Xn}服从中心极限定理，其中N(a,σ2)表示数学期望为a，方差为σ2的正态分布。

例：现有一大种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？

解：设取出的种子中的良种粒数为X，则X~B(6000,1/6)，于是

EX=np=6000×■=1000

DX=np(1-p)=6000×■×■=■×1000，

（1）要估计的规律为P{■-■＜■}=P{X-1000＜60}，相当于在切比雪夫不等式中取ε=60，于是

P{■-■＜■}=P{X-1000＜60}≥1-■

由题意得：1-■=1-■×1000×■=1-0.2315=0.7685，即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685。

（2）由拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布B(6000,■)可用正态分布N(1000,■×1000)近似，于是所求概率为

P{■-■＜0.01}=P{940＜X＜1060}

≈Φ(■)-Φ(■)

≈2Φ(2.0785)-1

≈0.9625

从本例看出：用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685，而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625。从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用。当Xi独立同分布（可以是任何分布），计算P(a＜X1+···+Xn≤b)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用。

随机变量是概率论与数理统计的重要部分，其性质和定理是概率论的基础和研究的工具，它的应用在概率论中也有着非常重要的作用。然后对随机变量序列中的概率极限理论、切比雪夫不等式和中心极限定理的理论作了深刻的研究。利用随机变量序列的各种性质和定理来恰当的处理现实生活中的实际问题，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，严谨、求实的治学方法和态度，进行初步的科学研究训练和创新意识、创新能力及获取新知识的能力。

由于本人水平有限，本文只是对随机变量序列敛散性比较常见的判别法予以分析举例，对于其它领域的新应用还有待于进一步探索及研究。

参 考 文 献

[1]封希媛．大数定律与中心极限定理在实际中的应用[J]．青海师范大学学报（自然科学版）．2006（2）：22～24

[2]中山大学．概率论及数理统计第4版（上册）[M]．高等教育出版社，2009：310～317