条件概率与贝叶斯公式在教学中的难度层次

摘要：简单介绍了条件概率与贝叶斯公式的相关概念，并举例说明了教学不同难度层次的教学例题。

关键词：贝叶斯公式；教学；条件概率；先验概率；后验概率

概率与数理统计是一门难度较大的数学基础课，条件概率与贝叶斯公式是概率中学生遇到的第一个难点，条件概率学的好不好透不透是概率论能否能够顺利入门的一个要点所在，如果能有一些合适的由浅入深的例题帮助学生理解，会有很好的教学效果，本文作者以多年的教学经验总结了几个例题与大家共享，抛砖引玉，期待与大家共同进步。

贝叶斯公式命名来自托马斯·贝叶斯，在统计学实际应用中作用广泛。条件概率是学过概率理论的人都知道的公式：P（B|A）=P（AB）/P（A）；即事件A和B同时发生时概率等于在发生的条件下B发生的概率乘以A发生的概率。条件概率公式与乘法公式可以推导：P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）；即，已知P（A|B），P（A）和P（B）可以计算出P（B|A）。假设{B1，B2…Bn}是概率空间B的一个划分。则P（A）可以用全概率公式展开：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）貝叶斯公式表示成：

P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）/（P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

条件概率的第一个典型例题就是抽签，几乎每一本教材都会用到。五个人ABCDE抽签选一人，先抽和后抽概率是否相等？第一个人抽中的概率为P（A）=1/5，第二个人抽中的概率为P（A-B）=P（A-）P（B/A-）=4/5×1/4=1/5，第三个人抽中的概率为P（A-·B-·C）=P（A-）P（B-/A-）P（C/A-·B-）=4/5×3/4×1/3=1/5，以此类推，每人抽中的概率都一样。第二个例题稍微难点，五个人ABCDE抽签选三人，先抽和后抽概率是否相等？第一个人抽中的概率为P（A）=3/5，第二个人抽中的概率为P（B）=P（A）P（B/A）+P（A-）P（B/A-）=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5，以此类推，每人抽中的概率都一样。

第三个例子，盒子有2个黑球3个白球，随机丢了1个，现从中任取2个球发现都是白球，问丢失的球是黑球的概率。解题先设A1={丢的是黑球}，A2={丢的是白球}，B={任取2球全是白球}，则：P（A1）=2/5，P（A2）=3/5，P（B/A1）=C23/C24=1/2，P（B/A2）=C22/C24=1/6，P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）=2/5×1/2+3/5×1/6=3/10，P（A1/B）=P（A1）P（B/A1）/P（B）=（2/5×1/2）/（3/10）=2/3。

第四个例子，有四个盒子甲乙丙丁，甲中有1黑1白2个球，乙中有1黑2白3个球，丙中有1黑3白4个球，丁是空盒。从三个盒子中各任取1球放入丁中，再从丁中任取1球，问取到黑球的概率是多少？该黑球是从甲盒中取出的概率是多少？解题先设A1={丁盒中有0个黑球}，A2={丁盒中有1个黑球}，A3={丁盒中有2个黑球}，A4={丁盒中有3个黑球}，B={从丁盒中取出一球是黑球}，C={黑球来自甲盒}则：

P（A1）=1/2×2/3×3/4=6/24，

P（A2）=1/2×2/3×3/4+1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4=11/24，

P（A3）=1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4+1/2×1/3×1/4=6/24，

P（A4）=1/2×1/3×1/4=1/24，

P（B/A1）=0，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=2/3，P（B/A4）=1，

P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）+P（A3）P（B/A3）+P（A4）P（B/A4）=6/24×0+11/24×1/3+6/24×2/3+1/24×1=13/36，

第二问的答案是P（BC）=

1/2×2/3×3/4×1/3+（1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4）×2/3×1/2+1/2×1/3×1/4×1/3=12/72P（C/B）=P（BC）/P（B）=12/26=6/13

贝叶斯公式和条件概率看起来都很简单，但是在自然科学社会生活等各个领域应用十分广泛。同时该理论本身也蕴含了极其深刻的思想。在现代社会大数据飞速发展的时代，从海量的数据中筛查数据解决相关问题，贝叶斯公式和条件概率也有着非常广泛的应用，因此搞清弄懂概念打好基础学好概率论有着非常重要的意义。

参考文献：

[1]茆诗松著.贝叶斯统计[M].中国统计出版社.

[2]祝东进，郭大伟著.概率论与数理统计[M].国防工业出版社.

作者简介：

王文相，江苏省连云港市，江苏财会职业学院。