“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨

摘要：“复变函数与积分变换”是一门理论与实践相结合的课程，在培养学生的数学素养以及应用数学解决实际问题的能力等方面有不可低估的作用。针对“复变函数与积分变换”课程的特点，分析了实际教学中所存在的主要问题，并且从教学内容、教学方法和教学手段等方面提出了教学改革的措施和建议。

关键词：复变函数；积分变换；教学改革

作者简介：高娟娟（1982-），女，山东平邑人，河南科技大学数学与统计学院，讲师；王树和（1976-），男，甘肃白银人，河南科技大学林学院，讲师。（河南 洛阳 471023）

基金项目：本文系河南科技大学博士科研启动基金项目（项目编号：09001444）的研究成果。

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）17-0063-02

“复变函数与积分变换”课程对工程力学、电子技术和自动控制等课程的学习有着重要的作用，因此是电信、自动化等工科专业的必修课。该课程主要讲授了两部分内容：一是复变函数理论，它实际上是实变函数理论在复数域中的推广和发展，有一部分内容和数学分析很类似，比如极限、导数和积分，而还有一部分内容和数学分析又有很大的不同，那就是复变函数理论最为核心的内容——解析函数以及留数；二是积分变换，它是以复变函数理论为基础，通过某种积分形式建立函数间的对应关系，从而简化计算的办法。本课程主要介绍了Fourier变换和Laplace变换两种积分变换，它们在工科专业的后续课程中有着广泛深入的应用。

“复变函数与积分变换”这门课程在培养学生的数学素养以及应用数学解决实际问题的能力等方面有不可低估的作用。但是，这门课程理论性比较强，有很多抽象的定义定理，还有很多需要灵活掌握的计算方法，再加上课时紧张，工科的学生普遍反映学习起来比较困难。基于以上因素，要讲好这门课程有一定的难度。教师需要从多方面入手，不断改革教学内容与教学方法。

一、“复变函数与积分变换”教学中存在的主要问题

1.侧重数学理论

在“复变函数与积分变换”有限的学时中，课堂上一般以数学系统理论知识为主，应用性知识为辅，其学时比例大约为5：1。很多学生在枯燥的数学理论学习中丧失了对本门课程的兴趣，以至于后续的应用性部分的授课效果大打折扣。

2.与专业课脱节

作为一门专业基础课，“复变函数与积分变换”的教学内容并没有与专业课产生紧密的联系。实际上，本课程的许多理论与方法在工程技术领域中都有很广泛的应用，例如：共性映射、Fourier变换和Laplace变换等。但是在讲授的过程中，因为学时所限，往往简单讲授这些内容，造成学生对真正有用的部分没有很好地学习，从而就偏离了开设这门课程的目的。

3.教学效果有待提高

数学的教学以板书为主，虽然容易引导学生思路，但是方式较死板，属于灌输式教育，使得学生感觉枯燥无味，教学效果不能达到预期。可以根据教学内容的具体特点适当改变教学方法和教学手段，给学生以新鲜感和趣味感，从而保持课堂活力。

二、教学改革措施

1.调整教学内容

首先，必须选一本好教材。针对工科专业的学生，它必须具备这样几个条件：叙述语言简练通俗，知识结构清晰明了，逻辑顺序衔接合理，课后习题难易适中。例如：西安交通大学编写的《复变函数》和东南大学的《积分变换》，以及华中科技大学编写的《复变函数与积分变换》等都是很好的选择。

其次，多准备几本专业教材作为辅助备课材料，如钟玉泉的《复变函数论》和H.嘉当的《解析函数论初步》等书籍。

最后，在保持所选教材基本内容不变的基础上，参考专业教材，结合课时的多少和学生的学习状况，适当增减部分内容的讲授，还可补充一些知识背景和具体应用的介绍，优化理论体系，加强实用性，组织出一套属于自己的授课内容。

2.选用适合的教学方法

此外，在讲授极限、连续性以及微分积分等概念时，引导学生把它们与高等数学中相同的概念做比较，从而让学生感觉是高等数学课程的延续，消除陌生感，跟随教师的讲授，从简单到复杂，形成自己的专业思维，真正理解复变函数理论，也就培养出了对本课程的自信。

对于积分变换部分，简化复杂的计算和证明，重点突出结论及其应用。利用简洁的例子介绍计算方法，比如Fourier变换的计算，求Laplace逆变换的方法，以及Laplace变换在微分方程中的应用等等。结合学生的专业，给出实际问题并利用积分变换解决问题。比如对于自动化专业的学生，可以大概介绍一下两种变换在电路、自动控制原理以及数据信号处理等课程上的应用，提高学生的学习热情。

3.采用多种教学手段

根据教学内容的不同特点采用不同的教学手段，不但能更灵活地讲授知识，并且能够从教学手段上给学生耳目一新的感觉。例如：在讲授复数的几何表示这一节时，需要画出多个平面的或者立体的图像，来直观表示复数的相关概念以及计算，因此可以采取传统板书结合多媒体课件的方式更清晰漂亮展示需要用到的图像，精准传达图像所表示的数学思想。与此类似，留数在定积分上的应用和共性映射部分都可以采用此种方式。

4.培养学生学习的主观能动性

兴趣是最好的老师，只有激发学生的学习兴趣，才能使得学生由被动变主动，学好这门课程。而要让学生对一门陌生的课程产生兴趣，第一堂课是关键。首先可以让学生充分了解，复变函数是怎样从一个简单的“i”，用了近两百年的时间，经过欧拉、柯西和黎曼等人的努力，让人们从一开始的不接受这个“虚”数到发展壮大成一门学科。其次，介绍本课程的主要内容：基本概念与计算；微分学部分——解析函数；积分学部分——复变函数的积分，留数理论；级数理论部分——级数；应用理论部分——共性映射，Fourier变换，Laplace 变换。

提醒学生可以类比高等数学中的微分学、积分学以及级数理论部分学习。最后，简洁罗列出复数相关的概念与简单计算，因为学生在高中已经学习过这部分内容，所以不需要按课本内容详细讲述。这样第一堂课结束，学生往往已经进入了角色，开始了对本课程的好奇和兴趣。

5.改革考核方式

“复变函数与积分变换”的考核由期末考试成绩和平时成绩共同组成，期末成绩占80%，平时成绩按占20%。显然，期末考试成绩是主要依据，而平时成绩的给分情况学生不甚明了，这就造成学生轻过程重结果的坏习惯。具体表现就是：出勤率不高，上课不认真听课，下课不问问题，作业互相抄袭，考试临时突击。也许学生能考出好成绩，但是却没有达到锻炼能力的最终目的。因此，教师平时应对学生严格要求，课上经常检查出勤情况、提问问题，偶尔进行随堂测验，让学生始终有学习的动力。

三、教学改革效果

通过对“复变函数与积分变换”课程教学过程中所存在的问题进行分析，在教学内容、教学方法和教学手段等方面做了一些探讨，在具体的教学实践中，取得了良好的教学效果。“复变函数与积分变换”课程的教学改革，可以激发学生的学习兴趣，从而提高教学质量和学生的学习能力，今后我们将在此方面作更多的探索与尝试。

参考文献：

[1]马引弟.《复变函数与积分变换》课程的教学改革与实践[J].科技信息，2010，（32）：539.

[2]王淑艳.“复变函数与积分变换”教学改革的几点思考[J].东北农业大学学报（社科版），2011，9（3）：65-66.

[3]陆平，刘转转，杨明.复变函数与积分变换课程教学内容改革探索[J].中北大学学报（社科版），2007，（23）：168-169.

[4]罗智囊，周幼林.建构主义对复变函数与积分变换教学的启示[J].宜宾学院学报，2005，（12）：31-33.

[5]李石涛，马芳.浅析如何提高复变函数与积分变换课程的教学质量[J].大众科技，2008，（11）：192.

[6]谢娟，邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J].合肥师范学院学报，2009，（3）：27-28.