数学产生和发展过程中的“累积”与“突现”

【摘 要】数学作为人类社会实践的产物，在其萌芽和发展过程中体现出双重特性。从社会发展需要角度来看，数学思想和知识是人们日常生活的经验积累，具有“实用性”。数学的发展具有渐进和“累积式”的特性；从一种娱乐和自我炫耀性的需要或者某种宗教情结的角度来看，数学知识和思想表现为个体性创造（尤其是大胆猜想和假设），具有“超实用性”。数学的发展表现为“跃迁”或者“突现式”的特征。整个数学发展都是这两种发展特性的交替彰显。

【关键词】实用性；超实用性；累积；突现

数学作为一门独立的理性学科，是在古希腊数学的全面发展基础上确立起来的。但早期的古代文明社会已经累积出现数学的开端和萌芽，其中不乏天才性的数学思想和知识。

一、数学的产生和发展过程的累积性

公元前3000年左右的古巴比伦和古代埃及出现了简单的数学思想。此时的数学思想主要产生于生产实践活动：对生活必须品的物物交换逐渐催生了简单的计数与计算，如有些原始文明知道且能运算较大的整数，产生了一些数的特殊记号，甚至还发明了简单的运算法则及用文字表述的分数的运算规律。对物质实体的长期观察慢慢形成了最初始的几何概念，如直线，圆和角。在这些原始文明中，数学的运用仅仅限于田地面积的粗略测算，织在布上的花格和记时等。

以古巴比伦为代表的算术和以古埃及为代表的几何共同构铸了数学的雏形。古埃及数学以“林德数学书卷”最为著名，其内容大致如下：

表1 林德数学手卷算题内容综述

算题编号算题内容附注

7—23单分数相加，结果成1的问题

单分数加倍表将单分数1/n加倍即2/n表为单分数之和n=5，7，9

24—38；47；80—81一元一次方程系数为整数加单分数

1—6；39—40；61；63—65；67—68面包之平均与多项不均分配分数与负比例问题

62；66；69—78；82—84价值、交换、供食简易比例问题

41—43；48；50圆柱体积，相当于用圆面积A=（8d/9）2相当于π=256/81≈3.16

44—46；49；51—60长方、三角及梯形面积；斜率

79求特殊几何级数之和：r=U（0）；U（n）=rU（n-1）；S（n）=r[1+S（n-1）]

手卷内容可分为简单分数运算、比例问题、一元一次方程和几何形球体求面积、体积等。后续的如莫斯科手卷等大都记载日常生产中的几何问题。希腊历史学家希罗多德（Herodotus）谈到，古埃及是因为尼罗河每年洪水过后需要重新划定农民土地的边界，而这一边界的划定会直接影响农民的上税，因此才产生了受重视的几何学，可以说，几何学是“尼罗河的恩赐”。生产劳作使得人们需要知道洪水的汛期与季节变化的规律，这就需要知道洪水到来前的天文现象，数学就被拓展到天文和土地测量方面。

苏美尔时期，巴比伦就摸索出了六十进制的记数法和简单算术，这套系统至今仍被用于角度与时间的计量上；在算术上，古巴比伦人对整数和分数提出了较系统的记法，使得算术被推进到相当高的程度，并利用实践获知的知识来解决众多实际问题，特别是天文学上的问题。虽然两个文明拥有如此辉煌的数学成就，但却无传世的数学家与哲学家，这是因为此间的数学与其他知识一样，都来自于丰富的实际生产活动，作为经验知识一部分的数学知识，在解决日常问题的过程中逐渐累积形成的，与其他知识相比并没有本质的区别，因此也就不需要专门的抽象的、理论化的数学家和哲学家出现，这一时期的数学观也就不是很明显，数学也就自然不是一门独立的学科而存在。

亚历山大时期，被尊奉为数学圭臬的《几何原本》涉及平面几何知识、比例的理论知识、立体几何计算、算术和数论知识、无理数知识、几何代数学等知识，其中以研究抛物线之面积、球体与圆柱体、圆的测量等内容的阿基米德，被称为“度量几何学专家”，这些研究内容具有高度的一致性和继承性。此间还形成的强大机械传统，包括气体力学、流体力学、弹道学、发石机等一系列制造等工艺，都出自数学家和机械师之手。

中世纪后期，数学开始复苏，数学的实用性和累积式的发展特征依旧明显，欧几里得几何学最重要的应用仍然是土地测量，除此之外还有天文学和光学领域，学习几何学的目的也往往被局限在它的应用方面。

从大航海一直到工业革命，技术科学的急速发展催生了大量新的应用性数学。在航海方面，为了确定船只位置，要求更加精密的天文观测；军事方面，弹道学成为研究的中心课题；准确时计的制造；运河的开凿；堤坝的修筑；行星的椭圆轨道理论等，都以复杂的实用性数学知识为基础。英国实用科学传统对数学的发展起到了推波助澜的作用，“和西班牙一样，英国开头依靠的是热那亚人的领港员，突出的有卡波特父子和外国的数学家，如法国人詹·罗兹（Jean Rotz）就在公元1524年被任命为亨利八世的御用水文学家。但是当航海和贸易发展起来时，本国的领港员和数学家不久就出现了。”

站在科学发展的角度来讲，从古代天文学再到近代以定量研究为标志的物理学的辉煌，也是以数学研究为基础。数学在这些学科当中的应用推动数学自身的发展和进步。应用数学的出现加快了数学社会化进程，不仅有自然科学数学化，连整个社会科学也越来越多的应用到数学。生物学研究将统计学知识应用于遗传和生物进化，尝试着使用微分方程模拟生物遗传和进化的过程；电子计算机的使用则完全建立在数学编码程序基础之上；社会管理、文化样态分析等都离不开数学知识，这些新的社会需求和实践为数学的发展提出了新要求，基于实用要求而产生的数学更具实用性的特征。

小结：数学肇端于实物记录和简单测量等日常经验活动，天文观测、航海定位、地图测绘、弹道研究、水利勘测这些领域的研究都已数学为基础，这些常规性的实践活动推动着数学渐进式的发展。数学是“充满凝聚力的团体的力量和众多个人贡献共同决定事业的成就。现代科学中定量研究方法的创立，并不是伽利略单枪匹马完成的。微积分是牛顿和莱布尼茨創造的，也同样是欧多克斯、阿基米德和许多17世纪数学家的创造……数学中的各个分支的发展是由汇集不同方面的成果，点滴累积而成的，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步”。因此可以说，数学的产生和发展因为实用性的需求而体现出强烈历史“累积”性特点。

二、数学形成过程中的“突现”

强调数学产生的经验积累性并不等于忽视其超实用性。随着数学自身抽象化和复杂化，它的发展和突破要依赖于“超实用”的兴趣与动机，或者说依赖纯粹的好奇或者某种炫耀，这些动机和活动是数学长久发展必不可少的构件。超实用的数学科学始于希腊，希腊人对数学的贡献在于他们提出了数学的演绎特征，用非经验化的、纯理性的方法来研究数学，把对数学的研究变成一种纯粹依靠逻辑推理的活动。

从纯粹好奇、炫耀性的或者宗教性的研究来看数学，首当其冲的是毕达哥拉斯及其学派。毕达哥拉斯学派提出了数本原思想，把数学研究看作是一种纯化灵魂、纯化身体的宗教的行为，追求人生的完美与和谐。柏拉图在《理想国》中谈到，数学是“一切技术的、思想的和科学的知识都要用到的，它使大家都必需学习的最重要的东西之一”；它是“把灵魂拖着离开变化世界进入实在世界的学问”。在柏拉图看来，数学是从可变世界通向实在世界的门径，这很大程度上继承了毕氏学派 “万物皆数”的观点，并将其与他的理念论相结合，使其具有了形而上的成分。

柏拉图的数学哲学思考的研究为数学发展开辟了一条新的途径，数学研究成为接近和解释上帝的最终途径。研究上帝的宗教情感推动数学演绎自身的发展，这种超实用性的数学研究使得累积式发展的数学发展呈现跳跃性和突现性，数学在数学家这种出于宗教目的的研究过程中出现“跃迁”。

近代是科学与数学兴起和发展的时代，韦达、开普勒、伽利略、笛卡儿、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等数学先驱都怀有强烈的宗教情感。近代数学的奠基者之一的伽利略曾说：“哲学（自然）是写在那本永远在我们眼前的伟大的书本里的——我指的是宇宙——但是，我们如果不先学会书里所用的语言，掌握书里的符号，就不能了解它，这本书是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形和别的几何图形。没有它们的帮助，是连一个字也不会认识的；没有它们，就像在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。开普勒在《宇宙的神秘》中因袭了毕达哥拉斯和柏拉图用数来解释宇宙构造的神秘主义理论，“我企图去证明上帝在创造宇宙并且调节宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们所熟知的五种正多面体，上帝按照这形体安排了天体的数目、它们的比例和它们运動间的关系。”假设尽管荒唐，但却促使他用数学构造去探寻宇宙构造，他甚至觉得这是上帝对自己的青睐，上帝的荣耀使他感受到了纯粹数学的伟大。

数学发展出一种崭新的研究样态，数学研究以超实用性学术团体为平台，数学似乎成了一门纯粹的理论事业。古希腊时代以Plato学园为代表，17世纪英国皇家学会又是一个典型的事例。英国皇家学会的早期创始人之一约翰·沃利斯（John Wallis）在他的自传中记载了皇家学会的早期活动情况，“大约在1645年，当我住在伦敦时，与一群有名的神学学者为邻……探求自然哲学及其它一些高雅的学问……我们的主要议题是讨论和思索哲学问题及有关的方面，诸为物理、解剖学、几何、天文、航海、统计学、磁学、化学、力学和自然实验，并结合了当时国内外对它们的研究水平来讨论。”除了英国的皇家学会以外，像法国的以尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）为笔名的年轻的数学家群体，国际的数学家大会等，也都是推动数学发展的重要力量。这些学术团体非实用的理论探讨和哲学反思是数学发展的重要推动力。

数学的发展得益于数学难题的迎刃而解，但更具突破性的进展在于数学猜想的提出，因为提出问题比解决问题更重要。纯粹数学的发展少不了猜测和个人好奇，数学猜想贯穿于数学发展的始终。非欧几何的出现源自于人们对欧几里得《几何原本》第五条公设的怀疑和猜测，由此产生的罗氏几何成为宇宙空间或者原子世界遵循的空间原则，黎曼几何成为地球表面研究、航海航空问题研究的理论依据。业余数学家的费马凭借丰富的想象力和洞察力提出了著名的“费马猜想（Xn+Yn=Zn，当n>2时，此方程式无整数解）”，后人用300多年时间解答这个猜想，对代数数论和算术代数几何的发展产生了极其重要的影响。笛卡尔的解析几何以及牛顿和莱布尼茨的微积分的发明都是个人大胆的、跳跃性的猜测和研究实现的。“数学和科学中的巨大进展……需要有一个人来走那最高的和最后的一步，这个人要能足够地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的说法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，并且能够大胆的制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是艾萨克·牛顿。” 17世纪可以称得上是数学发展的时代，与同时代的英国和法国相比，天才性的数学家以法国居多，何也？这其实是实用主义经验数学观和猜测演绎数学观之间的差异，超实用性猜测性数学发展是纯粹的实用立场上的数学发展的“质变”和“跃迁”。现在数学理论已经发展到了极其完善的时代，数学家们仍然有很多野心，比如他们希望把流形按照各种不同的结构完全分类，他们希望建立在代数，几何，分析之间的更多深刻的联系等等。

数学发展到一定程度，自然就会出现自身理论性的问题，对自身存在问题的理论探讨也是一种创造性的发展。数学自产生以来出现过三次严重的数学危机。数学危机的探讨涉及诸多创造性的数学假设，对这些数学假设的回答是数学跳跃式发展的集中体现。可以看出，这样一种研究样态，必然使得数学的发展在一定时期内走向“超实用性”，也必然导致数学“突现式”发展。

小结：毕达哥拉斯学派认为数学是追求净化心灵的虔诚的宗教行为，是世界秩序、万物之源；柏拉图学派坚持数学是通向绝对真理的必由之路，因此数学尤其是作为理念的数更具有神性。这些认识表现出了一致性，即数学发展并非是为了实用目的，而仅仅是一种神圣的宗教行为。这种观点既是对古希腊辉煌的哲学抽象思想的借鉴和响应，将哲学思辨和思维抽象深入数学发展的骨髓之中去；同时这种观点的出现也符合数学自身的发展特性，作为一门逐渐成熟的理论性学科，只有自身理论的超前性，才有可能更好地指导现实生活，这种自身要求导致数学的发展必须要具有“超实用性”，近代数学是在柏拉图式的数学演绎观念下发展起来的，其发展离不开数学家发散性和创造性的突破，大数学家出于个人兴趣的满足、自我的炫耀或者浓厚的宗教情感，提出一系列大胆的数学假设和合理性的猜想，使得数学发展呈现出“突现”性。

三、累积与突现的交替出现

上古时期，生产力低下，人们对事物的认识依赖于感观和简单思维。人们感觉到事物的数量关系以及变化可能具有某种“规律性”，经过实践验证后，便认定该事物具有此种“数学”性质。这种直观验证方法是早期人类实践活动的性质和在实践中产生的对客观世界的空间形式及数量关系的认识的初级方法，在此基础上产生的数学往往具有实用性质，其自身发展呈现出渐进的、经验的积累式发展。数学曾被应用于计算天文历法和航海，数学创造靠大量的实际问题的激发和推动。这种以实用为目的的数学观念曾经使古埃及、巴比伦、中国数学在世界上处于领先地位，但这样的数学观念会导致数学的“短命”，数学的累积渐进式发展往往会萎缩为独立的几个历史阶段，一旦数学知识满足社会问题的需要，对数学的探求也就停止了。克莱因批评道：“那些坚信数学仅仅具有实用价值的学者，经常自以为是地认为，历史上的数学活动靠实际需要的推动，不可能存在什么来自逻辑的推动（理论的推动）。”这样的认识完全不符合数学发展的历史进程，其结果往往是葬送了数学的前程。

数学的发展和人们对世界认识水平的提高使得数学家们不满足于靠直观验证得来的数学结论，开始运用抽象的演绎推理，从已经掌握的知识中推演出新的极富创造性的结论或者某种猜想。个人的兴趣爱好或者个人宗教心理的满足等超实用目的越得到体现，数学发展呈现出跳跃式的“突现性”。欧洲文明的渊源之一——基督教，在近代数学兴起过程中的重要作用发挥了重要作用。“寻找大自然的数学规律是为了研究上帝的本性和行为，以及上帝安排宇宙的方案”是近代数学家们从事数学研究的强烈动机。牛顿规划的世界图景使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律是数学。牛顿之所以提倡他的自然哲学的数学原理，而且确信数学是他所描述的现象的真正解释，其基础也是与他那个时代的所有数学家和科学家同样的信念：上帝创造的世界与数学原理吻合。牛顿多次表明对上帝的信仰是他进行数学和科学研究的真正动力。他认为科学也是崇拜上帝的一种形式，科学将揭开上帝辉煌设计的秘密。他为自己的工作揭示了无所不在的上帝的秘密而备感欣慰。

纯粹数学和应用数学两者的分野，恰恰在一定程度上可以表明数学产生和发展的两种模式和运行逻辑，历史也表明，进入19世纪以后，从事纯粹数学的越来越具规模，20世纪初出现纯粹数学家贬低应用数学家现象。这也就表明，数学的超实用性在那个时代展现出了绝对的优势。

借用库恩的科学范式理论来看数学的产生和发展，以实用为目的数学发展实则是常规数学向科学革命的“经验累积”过程，以“超实用性”为目的的数学发展则是数学革命或者新范式的“突现”过程，数学发展是这两种过程的交替转换，这两种逻辑和发展路径所彰显的“累积”和“突现”特点也全面表征了数学发展的历史过程。

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作者简介：李强（1986.03- ），男，陕西宝鸡人，东华大学人文学院科学技术哲学专业11级硕士研究生，研究方向：科学技术哲学。