用增补变量法求二维连续随机变量函数的计算技巧

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【摘 要】二维连续随机变量函数的密度函数的计算是概率论教学中的一个重点，更是一个难点，其中增补变量法是一个简洁明了易掌握的方法，但学生不能准确确定联合密度函数的积分区域，本文针对这个问题给出了确定积分区域的方法。

【关键词】连续随机变量 密度函数 增补变量法

【中图分类号】O211.5 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）10-0014-02

一 引言

求二维随机变量函数的密度函数是概率论中的一个重要内容，由于变量分布的差异性，如何求又是一个难题，一般没有统一的公式可循。一般教材中介绍了常用的方法，即先求分布函数，然后对分布函数求导就得密度函数，但计算比较麻烦，学生掌握困难很大。变量变换法和增补变量法相对于常用方法而言，计算过程更加简捷。其中变量变换法许多学者都有研究，而增补变量法甚少提及，总结多年教学经验发现，学生难以掌握这部分内容的精髓，运用起来容易犯错，特别表现在确定被积函数的积分区域上，本文针对这个问题理清了一个简单通用的确定方法。

二 增补变量法

增补变量法实质上是变量变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量（X，Y）的函数Z=g（X，Y）的密度函数，增补一个新的随机变量V=h（X，Y）。先用变量变换法求出（Z，V）的联合密度函数pZV（z，v），再对pZV（z，v）关于v积分，从而得到关于Z的边际密度函数pZ（z）。

问题：（1）如何增补新随机变量？（2）如何确定p（z，v）中v的积分区域？

由例题可以看出，只要掌握了增补变量和确定积分区域的技巧，增补变量法是一个极易掌握而且便于计算的方法。

增补变量法将比较难求的多维连续随机变量函数的密度函数，转化为求变换后的两个变量的联合密度函数，然后利用联合密度函数与边际密度函数之间的关系，积分求出要求的变量的密度函数。相对于常用方法，可简化运算。

参考文献

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〔责任编辑：庞远燕〕